2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想数形结合思想

函数与方程思想、数形结合思想【2020年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例1.若0x1x21，则()A.21eexx-lnx2－lnx1B.21eexx-lnx2－lnx1C.1221eexxxxD.1221eexxxx答案C解析设f(x)＝ex－lnx(0x1)，则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y1＝ex与y2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x0∈(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确；设g(x)＝exx(0x1)，则g′(x)＝exx－x2.又0x1，∴g′(x)0，∴函数g(x)在(0，1)上是减函数.又0x1x21，∴g(x1)g(x2)，∴1221eexxxx，故选C.例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式gxex1的解集为________.答案(－∞，0)例3.已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3.问题转化为m(x－2)＋(x－2)20恒成立，当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3.问题转化为g(m)在12，3上恒大于0，则g120，g30，即12x－＋x－20，x－＋x－20，解得x2或x－1.例4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.答案[－6，－2]解析当－2≤x0时，不等式转化为a≤x2－4x－3x3.令f(x)＝x2－4x－3x3(－2≤x0)，则f′(x)＝－x2＋8x＋9x4＝－x－9x＋x4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝1＋4－3－1＝－2.当x＝0时，不等式恒成立.当0x≤1时，a≥x2－4x－3x3，则f(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥f(x)max＝f(1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a的取值范围是[－6，－2].题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.例5.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d等于()A.－23B.－13C.13D.23答案D解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋10×92d＝70，即a1＋9d＝10，2a1＋9d＝14，解得d＝23.例6.已知在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝n＋23an，则anan－1的最大值为()A.－3B.－1C.3D.1答案C例7.在等差数列{an}中，若a10，Sn为其前n项和，且S7＝S17，则Sn取最小值时n的值为____.答案12解析由已知得，等差数列{an}的公差d0，设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，故Sn取最小值时n的值为12.例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.答案－9解析由4a1＋6d＝－2，6a1＋15d＝3解得a1＝－2，d＝1，所以Sn＝n2－5n2，故nSn＝n3－5n22.令f(x)＝x3－5x22，则f′(x)＝32x2－5x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝103，∴f(x)在0，103上单调递减，在103，＋∞上单调递增.又∵n是正整数，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r0)，如图，又可设A(x0，22)，D－p2，5，点A(x0，22)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0，22)在圆x2＋y2＝r2上，∴x20＋8＝r2，②点D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋p22＝r2，③联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.例10.如图，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且OQ→＝3OP→，则双曲线C的离心率为()A.233B.72C.396D.3答案B解析因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，又OQ→＝3OP→，则|OP|＝12|PQ|＝R.双曲线C的渐近线方程是y＝bax，A(a，0)，所以点A到直线y＝bax的距离d＝ba·a－0ba2＋－2＝aba2＋b2，所以aba2＋b22＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，例10.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案D解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝ca＝5.例11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.答案－2，12解析因为(－2)28×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使△APF的周长最小的点P的坐标为－2，12.例12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.答案22解析连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝12|PA||AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝22.