中考压轴题几何模型30讲专题17一线三等角模型

专题17《一线三等角模型》破解策略在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．321DBPAC（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．3CDBPA证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．231DBPAC2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．321CPDBA证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．321CDBAP证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD．例题讲解例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值；（2）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）．②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1S2的表达式．NFCMEBDAFNMEBDACFNDABEMC图1图2图3解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．HGADBEMCFN则S1S2＝12MGAD12NHBD＝14ADAMABDBN．由题意可知∠A＝∠B＝60º，所以sinA＝sinB＝32．由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN．∴AMADBDBN，从而AMBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12．（2）①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．HGCADBEMNF则S1S2＝12MGAD12NHBD＝14ADAMABDBN．由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，所以AMADBDBN，从而AMBN＝ADBD＝ab，所以S1S2＝14a²b²sin²a；②如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．HGCMEBADNF则S1S2＝12MGAD12NHBD＝14ADAMABDBN．由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，所以AMADBDBN，从而AMBN＝ADBD＝ab，所以S1S2＝14a²b²sin²a；例2：如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．ECDBA解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝12AB＝1，∴BF＝3，∴BC＝2BF＝23，则DC＝23x，EC＝2－y∵△ABD∽△DCE，∴ABDCBDCE，∴2232xxy，化简得：21322yxx023x．ECDBA（2）①当AD＝DE时，如图2，△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝23x，x＝232，代入21322yxx解得：y＝423，即AE＝423，②当AE＝ED时，如图，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，所以∠DEC＝60°，∠EDC＝90°则ED＝12EC，即y＝12（2－y）解得y＝23，即AE＝23；③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在．所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－23或AE＝23ABCDE进阶训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．DFECBA1．略【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等角模型”可得△BDE∽△CEF，可得BECF＝DEEF．而BE＝CE·所以CECF＝DEEF，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH＝5HG，求BD的长．GHFEDCBA2．BD＝9．【提示】如图，过点F作FI∥AC交BC于点I．则∠FIE＝∠ACB＝∠ABC．易证△DBE≌△EIF，则IF＝BE，IE＝BD，所以BC＋BE＝AD，即IC＝BE＝IF，则∠ACH＝∠BCH＝30°．延长CH变AB于点J，则CJ⊥AB，．A＝BJ分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，·则KL＝KJ·AJJK＝AHHG＝52，所以AJ：JK：KL：BL＝5：2：2：l．因为BE＝3，∠LEB＝30°，所以BL＝1．5．AB＝15．所以BD＝9．LKJIABCDEFHG