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专题25《全等三角形的存在性》破解策略全等三角形的存在性问题的解题策略有：（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．例题讲解例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可列方程组424032abba，解得1432ab，所以抛物线的表达式为213442yxx．（2）显然OA＝2，OB＝3，OC＝4．所以225BCOBOCBA．若△PBD≌△PBC，则BD＝BC＝5，PD＝PC所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，①若点D为抛物线与x轴的左交点，即与点A重合．如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点．此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD．由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）．所以直线BE的表达式为1322yx．联立方程组2132213442yxyxx，解得114261262xy，224261262xy．所以点P1，P2的坐标分别为（4一26，1262）．（4＋26，1262）．②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）．如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点．此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD．由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2），所以直线BF的表达式为y＝2x－6．联立方程组22613442yxyxx，解得331418241xy，441418241xy所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋41，－8＋241），（－1－41，－8－241），综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一26，1262），（4＋26，1262），（－1＋41，－8＋241）或（－1－41，－8－241）．（3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2．而∠AMN＝∠ABN＝900，所以△AMN与△ABN全等有两种可能：①当AM＝AB，MN＝BN时，可列方程组2224259()mmnn，解得11215217mn；22215217mn（舍），所以此时点M的坐标为（0，21）．②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：22249()25mnmn·解得113252mn，223252mn（舍）所以此时点M的坐标为（0，32）．综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，21）或（0，32）．例2如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．图1图2解：由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝22．所以OD＝23OB＝423，BD＝13OB＝223．①当点F在OA上时，（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1．此时DF⊥OA，所以OF＝22OD＝43，所以OE＝2OF＝83，即点E的坐标为（83，0）．（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2．此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝BDED＝12；所以∠BED＝300，从而BE＝3BD＝263，AE＝62263．过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝22AE＝2323，所以OG＝2323，即点E的坐标为（2323，2323）．图3图4（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3．此时DE∥OA，所以BD＝BE．从而AE＝OD＝423，过点E作EG⊥OA于点G，则EG＝AG＝22AE＝43，所以OG＝83，即点E的坐标为（83，43）．②当点F在AB上时，只能有△ODF≌△AFD，如图4．此时DF∥0A．且点E与点A重合，即点E的坐标为（4，0）．综上可得，端足条件的点E的坐标为（83，0），（2323，2323），（83，43）或（4，0）．进阶训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线21382yxx=--与y轴变于点C．直线l；43yx=-与抛物线的对称轴交于点E．连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F，使得△FOE≌△FCE．．若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由．yxlECO答案：存在．点F的坐标为（317-，－4）或（317+，－4）2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行．直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．E为直线l2上一点，反比例函数kyx=（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交干点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由．FEAl2Byxl1PO备用图Al2Byxl1PO答案：（1）k＝2（2）存在．点E的坐标为（38，2）或（83，2）【提示】（2）易得点E（3k，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM＝12，再解Rt△BME，得k＝34，所以点E的坐标为（38，2）；②如图2，当k＞2时，只能有△MEF≌△PFE．过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（83，2）图1HFMPl2Eyxl1BO图2MQFAPl2Eyxl1BO3．如图，抛物线2yaxbxc=++经过A（3-，0），B（33，0），C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，AD．线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q．使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．BDAyxPCO答案：（1）抛物线的表达式为2123333yxx=-++（2）存在．点Q的坐标为（33，4），（3，－2），（23-，1）或（0，7）．【提示】（2）方法一：易求直线BC：333yx=-+，从而点D的坐标为（3，2），可得CD＝PD，所以△QCD与△ADP全等有两种情况．设点Q坐标，通过两点间距离公式列出QC，QD，AP，AD的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标．方法二：连接CP，易证△CDP为等边三角形，∠ADC＝60°，所以∠PDA＝120°．△QCD与△ADP全等有两种情况，①如图1，∠DCQ＝120°，CQ＝DA＝4，此时点Q1的坐标为（0，7），点Q2的坐标为（23-，1）；②如图2，∠CDQ＝120°，DQ＝DA＝4，此时点Q3的坐标为（3，－2），点Q4的坐标为（33，4）图1Q2Q1DAyxPCO图2Q4Q3DAyxPCO