中考压轴题几何模型30讲专题28函数与角

专题28《函数与角》破解策略1、特殊角问题（1）运用三角函数值；（2）遇45°构造等腰直角三角形；（3）遇30°，60°构造等边三角形；（4）遇90°构造直角三角形．2、角的数量关系问题（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．例题讲解例1、如图，抛物线432xxy与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D在抛物线上且横坐标为3，连结CD，CB，BD．P是抛物线上的一个动点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．xyABDCOxyFEABDCOP解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．设抛物线上点P的坐标为（m，432mm），过点P作PF⊥AB于点F．令0432xx，解得4,121xx．所以点A的坐标为（－1，0），B的坐标为（4，0）．当x＝0时，y＝4，所以点C的坐标为（0，4）．当x＝3时，y＝4，所以点D的坐标为（3，4）．所以OB＝OC，CD∥AB．所以∠ABC＝∠BCD＝∠EDC＝45°．在Rt△CED中，有CE＝DE＝CD22345sin，因为24BC，所以BE＝225．所以tan∠DBC＝53．若∠PBD＝45°＝∠ABC，则∠PBF＝∠DBC，所以tan∠PBF＝PFBF＝tan∠DBC，即234345mmm，解得m1＝25，m2＝4（舍）．所以满足条件的P点的坐标为266(,)525．例2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标．解：由已知条件可得A（1，0），B（3，0），C（0，3）．可设△ABC外接圆的圆心为D（2，m），则DC＝DA，即1＋m2＝4＋（m－3）2，解得m＝2，所以外接圆的圆心为D（2，2），则DA＝5．如图，该圆交抛物线对称轴于点P1，作P1关于x轴的对称点P2，则P1，P2即为所求．所以点P的坐标为(2,2+5)或(2,25)．例3如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，直线y＝113x交y轴于点E，求∠EBC－∠CBD的度数．解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H．由已知条件可得A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），D（1，－4），E（0，1）．因为OBCHOCDH，且∠COB＝∠CHD＝90°，所以△OBC∽△HCD，∠OCB＋∠HCD＝90°，所以∠BCD＝90°，CBOBDCCH＝3．在Rt△BOE中，tan∠EBO＝13，所以∠EBO＝∠CBD．所以∠EBC－∠CBD＝∠ABC＝45°．例4在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax2＋2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB＝90°，结合图像，求a的取值范围．解抛物线y＝ax2＋2ax－3a＝a（x＋3）（x－1）＝a（x＋1）2－4a，所以点A（－3，0），点B（1，0），从而AB＝4，抛物线对称轴为x＝－1．以AB为直径作圆．①如图，当点N为圆与对称轴的交点时，则点N的坐标为（－1，－2）．将其代入抛物线表达式，得a＝12．②如图，当点N在抛物线上（不与顶点重合）时，－4a＜－2，则a＞12．综上可得，满足题意的a的取值范围为a≥12．进阶训练1．已知直线l：y＝－2x＋4和直线外一点P（3，2），求经过点P且与l夹角是45°的直线的表达式．【答案】1．直线的表达式为y＝13x＋3或y＝3x－7．【提示】设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点B顺时针旋转90°得到△A’O’B，则直线AA’与直线l的夹角为45°，易求直线AA’：y＝13x＋23，所以只要求过点P且平行于AA’和垂直于AA’的直线表达式即可．2．抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A（－1，0），C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B，点D（m，－m－1）在第四象限的抛物线上，连结BD，问：抛物线上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】2．存在，点P的坐标为（5，12）或（73，209）．【提示】易求抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，将点D的坐标代入表达式得m＝2，即点D的坐标为（2，－3）．①如图，过点C作CP1//BD交抛物线于点P1，则∠P1CB＝∠CBD，由直线BD的表达式可得直线P1C：y＝3x－3，与抛物线方程联立方程组，得点P1的坐标为（5，12）；②如图，在x轴上点B的右侧取一点E，使得∠ECB＝∠P1CB，CE与抛物线交于点P2．直线CP1与x轴交点为F（1，0），作FM⊥CB于点M，作EN⊥CB于点N．易证△CMF∽△CNE，从而ENFMCNCM．设BE＝2a，则EN＝a，CN＝a＋32，从而求得a＝32，所以点E的坐标为（9，0），得到直线CE：y＝13x－3，与抛物线方程联立方程组，得点P2的坐标为（73，209）．3．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，过点A作AN⊥x轴，D为直线AC下方抛物线上的点．若∠COD＝∠MAN，求此时点D的坐标．【答案】3．点D的坐标为（3，23）．【提示】设点D的坐标为（m，m2＋2m－3），所以tan∠COD＝tan∠MAN，即可得到m＝3．4．如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y＝233322xx的图像与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，M（12，t）为抛物线对称轴上的一个动点，连结MA，MB．若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【答案】4．23396≤t≤23396．【提示】由已知可得点A，B的坐标分别为（－1，0），（0，3），连结AB，则∠ABO＝30°．过AB的中点D作AB的垂线，交y轴于点P，连结AP，则AP＝BP且∠APB＝120°，以点P为圆心，AP长为半径作⊙P，交抛物线对称轴于E，F两点，连结AE，BE，AF，BF，则∠AEB＝∠AFB＝60°，故当点M在线段EF上时，有∠AMB≥60°，过点P作PQ⊥EF于点Q，则EQ＝FQ＝12EF，PQ＝12．连结PF，则PF＝PA＝32AO＝233．所以QF＝392．易得点P的坐标为（0，33），所以点Q的坐标为（12，33），所以点E，F的坐标分别为（12，23396），（12，23396），从而得到t的取值范围．