中考压轴题几何模型30讲专题30函数与面积

专题30《函数与面积》破解策略解决函数与面积问题的常用方法有1．割补法当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：EDCBADCBADCBAS△ABC＝S△ABD＋S△BCDS四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACDS四边形ABCD＝S四边形ADCE＋S△BCENFMDCBAECBAS△ABC＝S梯形AEFC－S△AEB－S△CBFS四边形ABCD＝S△ABD＋S梯形BDNM－S△BCM－S△DCN一般步骤为：（1）设出要求的点的坐标；（2）通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减；（3）列出关于所设参数的方程求解；（4）检验是否每个坐标都符合题意．2．等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：nmDCEBA直线m∥直线nS△ABC＝S△ABD＝S△ABE例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换，yxOEDCBAS△ABC＝S△ABD＝S△ABE一般步骤：（1）设出直线表达式，两条平行的直线k值相等；（2）通过已知点的坐标，求出直线表达式；（3）求出题中要求的点；（4）检验是否每个坐标都符合题意．3、铅锤法三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上下距离，左右横向不用考虑）．在平面直角坐标系中经常向x轴y轴作垂线，然后利用铅锤法，如图一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）向x轴y轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积；（3）根据题意列方程求解；（4）检验是否符合题意．4．等比转换法若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比转化为图形的对应底的比一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）将图形的面积比转化为图形的线段比；（3）列方程，求出参数；（4）检验是否符合题意．例1如图，直线xy21与双曲线)0(kxky交A、B两点，且点A的横坐标为4，（1）求k的值（2）若双曲线)0(kxky（3）过原点O的另一条直线l交双曲线)0(kxky）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解（1）∵点A横坐标为4，把x＝4代入xy21中得y＝2，∴A（4，2），∵点A是直线xy21与双曲线)0(kxky）的交点，∴k＝4×2＝8；（2）解法一：如图，∵点C在双曲线上，当y＝8时，x＝1，∴点C的坐标为（1，8）．过点A．C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．∵S矩形ONDM＝32，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4．∴S△AOC＝S矩形ONDM−S△ONC−S△CDA−S△OAM＝32−4−9−4＝15；解法二：如图，过点C．A分别做x轴的垂线，垂足为E．F，∵点C在双曲线y＝8x上，当y＝8时，x＝1，∴点C的坐标为（1，8）．∵点C．A都在双曲线y＝8x上，∴S△COE＝S△AOF＝4，∴S△COE＋S梯形CEFA＝S△COA＋S△AOF．∴S△COA＝S梯形CEFA．∵S梯形CEFA＝12×（2＋8）×3＝15，∴S△COA＝15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP＝OQ，OA＝OB，∴四边形APBQ是平行四边形，∴S△POA＝S平行四边形APBQ×14＝14×24＝6，设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），得P（m，8m），过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E．F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE＝S△AOF＝4，若0＜m＜4，如图，∵S△POE＋S梯形PEFA＝S△POA＋S△AOF，∴S梯形PEFA＝S△POA＝6．∴21（2＋m8）⋅（4−m）＝6∴m1＝2，m2＝−8（舍去），∴P（2，4）；若m＞4，如图，∵S△AOF＋S梯形AFEP＝S△AOP＋S△POE，∴S梯形PEFA＝S△POA＝6．∴21（2＋m8）⋅（m−4）＝6，解得m1＝8，m2＝−2（舍去），∴P（8，1）．∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．例2如图，抛物线cbxaxy2的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI（1，0），C（0，－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为．（2）①令，解得∴B（3，0）当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），代入求得．∴直线AP的解析式为解方程组，得∴点当点P在x轴下方时，如图1设直线交y轴于点，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得∴综上所述，点P的坐标为：，例3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx（a≠0）与x轴交于A（－2，0），B（4．0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个电位长度的速度向点C运动，其中一个点到达终点时．另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，问：运动多少秒时，△PBQ的面积最大，晟大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点K．使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2？若存在，求点K的坐标；若不存在，请说明理由．xyCBAOPQ解（1）因为抛物线与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，所以y＝a（x＋2）（x－4）＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－3，解得38a．b＝－2a＝－34．所以抛物线的表达式为233384yxx．（2）如图1．过点Q作QH⊥x轴于点H．xy图1HCBAOPQ在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5．sinB＝35．在Rt△BQH中，BQ＝t．所以QH＝BQ·sinB＝35t．所以S△PBQ＝12BP·QH＝12（6－3t）×35t＝29911010t．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910．（3）方法一：等比转化法当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，点P的坐标为（1，0），BQ＝1．如图2，因为△PBC与△PBQ是等高三角形，所以S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1．xy图2CBAOPQK当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1．因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比是2∶1．如图3，在x轴上点B的右侧取一点D．使得BD＝12BP，则点D的坐标为11,02，xy图3K′KCBAOPQD过点D作BC的平行线交抛物线于点K，过点K作KF⊥x轴于点E．设点K的坐标为3,248xxx．由KECDDEBO，得324381142xxx．整理得2430xx．解得11x，23x．所以点K的坐标为（1，278）或（3，158）．方法二：铅垂法由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝910，得S△CBK＝94．如图4．过点K作x轴的垂线交BC于点F，设点K的坐标为233,384xxx．xy图4FCBAOPQK由于点F在直线BC上，所以点F的坐标为3,34xx．所以KF＝22333333348482xxxxx．△CBK被KF分割为△CKF和△BKF．它们以FK为底的高的和为OB＝4．所以S△CBK＝2133942824xx，解得11x，23x．所以点K的坐标为（1，278）或（3，158）．进阶训练1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线变于点P．与直线BC相交干点M，连结PB．（1）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D．使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（2）抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？著存在．求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．xyMPCBAO【答案】（1）存在，点D的坐标为315,24，S△BCD取最大值278；（2）存在，点Q的坐标为（2，3），317317,22或317317,22．【提示】（1）由题意可得y＝－x2＋2x＋3．设D（t，－t2＋2t＋3）．作DH⊥x轴于点H，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝－32t2＋92t＝－23327228t．从而当t＝32时，S△BCD取得最大值等，此时点D315,24．（2）易得直线BC的表达式为y＝－x＋3．点P，M的坐标分别为（1，4），（1，2）．直线PM与x轴交于点E（1，0）．所以PM＝EM过点产且与直线BC平行的直线为y－x＋5．过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1．两直线与抛物线的交点即为满足条件的点Q，所以点Q为Q1（2，3），Q2317317,22，Q3317317,22xyMPCBAOD2．如图，抛物线y＝213222xx与T轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，P是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点C重合）．连结PB．PC．设△PBC的面积为S，（1）求S的取值范围；（2）若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有个．xyACBO【答案】（1）0＜S＜5；（2）11个，【提示】（1）设点P的坐标为213,222mmm，如图，过点P作一轴的平行线，交BC于点F，则可得点F的坐标为1,22mm．①当点P在BC下方的抛物线上时．可得FP＝－2122mm，从而S＝12PF·OB＝－（m－2）2＋4，此时0＜S≤4；②当点P在BC上方、x轴下方的抛物线上时．S最大＝S△ABC＝5．此时0＜S＜5，即得解．（2）点P在x轴下方、BC上方时，面积为1，2，3，4的三角形各一个；点P在BC下方时，面积为1，2，3的三角形各2个，面积为4的三角形为1个，共11个满足条件的△PBC．xyFACBOP3．如围，抛物线E：y＝x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′．P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重台的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．xyE2E1P′B′A′ABOP【答案】14PAAPBBSS△△．【挺示】易得点A（1，1）．抛物线E2表达式为y＝212x．如图，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交直线AA'于点E；过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．P'D交直线BB′于点F．依题意可设P（c，c2），P′（d，212d）．其中c＞0，c≠1．因为tan∠POC＝tan∠P'OD．则2212dccd．可得d＝2c．222211211122111422242222PAAPBBAAPEccSScBBPFd△△．xyE2E1EFCDP′B′A′ABOP