搜索
专题5《等分图形面积》破解策略等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：如图，12ll∥，点123AAA，，在1l上，点B，C在2l上，则123ABCABCABCSSS．图形等分面积的常见类型有：（1）已知：△ABC．作法：作中线AD．结论：直线AD平分△ABC的面积．（2）已知：平行四边形ABCD．作法：过对角线交点O作直线．结论：过点O的直线平分平行四边形ABCD的面积．（3）已知：梯形ABCD，AD∥BC．作法：过中位线EF中点O（或上、下底边中点连线HG的中点O）作直线，且与上、下底均相交．结论：过点O且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD的面积．（4）已知：△ABC，P为AC边上的定点．作法：作△ABC的中线AD，连结PD，过点A作AE∥PD，交BC于点E．OGHFEDCBAODCBADCBAl2l1CBA3A2A1结论：直线PE平分△ABC面积．（5）已知：四边形ABCD．作法：连结AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，连结AE，作△ABE的中线AF．结论：直线AF平分平行四边形ABCD的面积．（6）已知：四边形ABCD，点P为AD上的定点．作法：连结PB，PC．作AE∥PB，DF∥PC，分别交直线BC于点E，F，连结PE，PF，作△PEF的中线PG．结论：直线PG平分四边形ABCD的面积．（7）已知：五边形ABCDE．作法：连结AC，AD，作BF∥AC，EG∥AD，分别交直线CD于点F，G，连结AF，AG，作△AFG的中线AH．结论：直线AH平分五边形ABCDE的面积．进阶训练HGFEDCBAPGFEDCBABCDEFAPEDCBA1．如图，已知五边形ABOCD各定点坐标为A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2），请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．答：如图：直线的表达式为843yx．【提示】连结AO，作BM∥AO交x轴于点M，连结AC，作DN∥AC交x轴于点N，取MN中点F，则直线AF将五边形ABOCD分为面积相等的两部分．作AH⊥x轴于点H，则△BMO∽△AOH，可得点M的坐标．同理可得点N的坐标．从而求得点F的坐标．确定直线AF的表达式．2．过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1：2的两部分．答：如图：【提示】连结AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，取BE的一个三等分点F或G，则直线AF或AG即为所求．3．设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w的“化方”．ODCBAEGFABCDDCBAxyNHFMABCDO（1）阅读填空如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连结AH，EH．因为AE为直径，所以∠AHE＝90°，所以∠HAE＋∠HEA＝90°．因为DH⊥AE，所以∠ADH＝∠EDH＝90°．所以∠AHD＝∠HED，所以△ADH∽．所以ADDHDHDE，即2=DHADDE因为DE＝DC，所以2DH＝，即正方形DFGH与矩形ABCD等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图2，请作出与平行四边形ABCD等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图3，△ABC的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．3．（1）△HDE；AD·DC；（2）作图如下：图2DCBA图1HGFEDCBAB1C1ABCDEFGH（3）矩形；作图如下：（4）作图如下：【提示】（2）作法：①分别过点A，D作直线BC的垂线，垂足分别为11BC，；②延长AD至点E，使得1DEDC；③以AE为直径作半圆；④延长1CD交半圆于点H；⑤以DH为边向右作正方形DFGH．则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）作法：①作△ABC的中位线MN；②分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D；③延长BC至点F，使得CF＝CD；④以BF为直径作半圆；⑤延长DC交半圆于点G；⑥以CG为边向右作正方形CGHI．则正方形CGHI与△ABC等积．（4）作法：①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；②作△EBC的中位线MN；③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；④延长BC至点H使得CH＝CG；⑤以BH为直径作半圆；⑥延长GC交半圆于点I；⑦以CI为边向右作正方形CIJK．则正方形CIJK与四边形ABCD等积．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈）ABCABCD