中考压轴题几何模型30讲专题6轴对称之最短路径

专题6《轴对称之最短路径》破解策略用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有：1．已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小．作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P2．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P3．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点PABlBAPlA'ABlABlPABllABP4．已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小，作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A，连结AB，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则此时AC'＋CD＋DB最小．5．已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P，连结P'P，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．6．已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'QON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．ABlaAAlBA'CDONMPP'PPONMRQONMP7．已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．例题讲解例1（1）如图1，等边△ABC中，AB＝2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BP＋EP的值最小，并求BP＋PE的最小值．（2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．BDCABDCAPOEDCBA图1图2图3解P'PQONMRPONMQPP'Q'ONMQSRHNMFEPACDBEPOACDBABCDE（1）3（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P）；（2）2（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P）；（3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．如图，连结BE，BF，∠EBF＝2∠ABC＝2α，BE＝BF＝BP＝m．过点B作BH⊥EF于点H，所以∠EBH＝12∠EBF＝α，EH＝FH．在Rt△BEH中，sinα＝EHBE，所以EH＝BE·sinα＝m·sinα，所以EF＝2m·sinα，即PM＋PN＋MN＝EF＝2m·sinα．例2如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，求PM＋PN的最小值．xyPMNBAOM'A'OABNMPyx解如图，作⊙A关于x轴的对称图形⊙A´，连结A´B，与x轴交于点P，与⊙A´交点为M´，与⊙B交点为N，连结PA，PA与⊙A交点为M，则此时PA＋PB值最小，从而PM＋PN值也最小，最小值为线段M´N的长．如图，易得A´（2，－3），由两电间距离公式得A´B＝52．故M´N＝52－4，即PM＋PN＝52－4．例3如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点．P，N分别是BE，BC上的动点．QONEPBDCAACDBPENO图1图2（1）当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；（2）如图2，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN＋NP＋PD的最小值．Q'D'ACDBPENOQD'ONEPBDCA图3图4解（1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D´在AB上，且为AB的中点．如图3，过点D´作BC的垂线，垂足为N´，D´N交BE于点P，连结PD´，则PD´＝PD．此时D´N的长度即为PN＋PD长度的最小值．显然D´N∥AD，即点N为BD的中点．所以BN＝14BC＝32，从而BP＝cosBNPBN＝3．（2）如图4，作点Q关于BC的对称点Q´，则BQ´＝1，∠CBQ´＝30°．点D´是点D关于BE的对称点，连接D´Q´，交BE于点P，交BC于点N．此时D´Q´即为QN＋NP＋PD的最小值．显然∠D´BQ´＝90°，所以D´Q´＝22BDBQ＝10，即QN＋NP＋PD的最小值为10．进阶训练1．两平面镜OM，ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由．AOBM'NDCA'B'NM'BOA答案：作点A关于OM的对称点A´，作点B关于ON的对称点B´，连接A´B´，与OM，ON分别交于点D，C．光线行进路线如图．2．（1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）解：（1）如图，过点B作BB’垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置．（2）如图，过点A作AA’垂直于距点A较近的河岸，且使AA’长等于该河宽，同样，过点B作BB’垂直于距点B较近的河岸，且使BB’长等于河宽，连接A’B’分别交两条河相邻的河岸于点N，P，过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M，过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q，则MN，PQ即为架桥最合适的位置．ABBA图1图2DCBAB'MQPNA'B'BA3．如图，直线334yx分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．xyCBAO提示：作点C关于对称轴x＝1的对称点C’，则C’（2，1）．过点C’作C’F⊥AB于点F，且于对称轴交于点E，此时FC’的长为CE＋EF的最小值．连接C’B，C’A，作C’K⊥x轴于点K，则S△ABC＝S△ABD＋S△梯形C’KOB－S△C’KA＝ABFC’，解得FC’＝145，则CE＋EF的最小值是145．xyx=1EFKC'CBAO