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专题7《旋转之求线段最值》破解策略用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋OB．最大值最小值B1OB2AB常见的题型有：1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．nmOBAC取AB中点D，连接OD，CD．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．mnDOBAC2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．mnCOBA取AB中点D，连接OD，CD．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．nmDCOBA3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．nmOBAC取AB中点D，连接OD，CD．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD–OD|．mnDOBAC例题讲解例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝12．若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．EDACB解：在Rt△ABC中，AC＝tanBCBAC＝12，AB＝65．①如图1，当AD＝13AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝12AB＝35，EF＝12AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，此时CE＝CF＋EF＝2＋35．EDFACB图1②如图2，当AD＝23AC时，同理可得CE的最大值为4＋35．综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋35．EFDABC图2例2以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝30°．如图，若BO＝33，点N在线段OD上，且NO＝2，P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为________，最大值为________．BCDPNOA解：332－2；33＋2．过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝12OB＝332．故当点P在点E处时，OP长度取最小值332；当点P在点B处时，OP长度取最大值33．AONPDBCE①当△AOB绕点O旋转到O，E，D三点共线，且点E在线段OD上时，PN取最小值，即OE－ON＝332－2；E(P)CDOABN②当△AOB绕点O旋转到O，B，D三点共线，且点B在线段DO的延长线上时，PN取最大值，OB＋ON＝33＋2．所以线段PN长度的最小值为332－2，最大值为33＋2．B(P)ODCAN进阶训练1．已知△AOB和△COD是等腰三角形，其中BA＝BO＝2，CD＝CO＝3，∠ABO＝∠DCO．连结AD，BC，M，N分别为OA，BC的中点．若固定△AOB，将△COD绕点O旋转，求MN的最大值．NMABCDO【答案】52．【提示】如图，取OB的中点E，连结EM，EN，则EM，EN为定值，当点E在线段MN上时，MN取最大值．EODCBAMN2．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P．（1）设BC的中点为M，求线段PM的长；（2）求点P到AB所在直线的距离的最大值．E1D1ABCDEP【答案】（1）22；（2）1＋3．【提示】（1）易证△E1AC≌△D1AB，所以∠E1CA＝∠D1BA，从而可得∠BPC＝∠BAC＝90°，所以PM＝12BC＝22．MPEDCBAD1E1（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．GPEDCBAD1E13．已知：正方形ABCD的边长为1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使得PC＝12？请说明理由．ABCDPMN【答案】不存在满足条件的点P，使得PC＝12．【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以AP⊥BN．以AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OP＋PC≥OC，从而PC≥512，所以不存在满足条件的点P，使得PC＝12．ONMPDCBA