江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编导数及其应用

江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编：导数及其应用一、填空题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知函数3|3|,0,()123,0.xxfxxxx设()1gxkx，且函数()()yfxgx的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为.2、（南京市2019届高三第三次模拟）已知函数f(x)＝12x2－alnx＋x－12，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是▲．3、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知点P在曲线C：212yx上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为．4、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已已知e为自然对数的底数，函数2()xfxeax的图像恒在直线32yax上方，则实数a的取值范围为．5、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））己知函数2()fxxxa，()(21)lngxaxax，若函数()yfx与函数y()gx的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为．6、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知abbababa，，,max，etxxtxxxf221lnmax)(，(e自然对数的底数)，若2)(xf在ex，1上恒成立，则实数t的取值范围为_____.参考答案1、2、(－∞，1]3、14、5、1a6、12(,2]e二、解答题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知函数22()ln,012xfxxaxa.（1）当2a时，求函数()fx的图象在1x处的切线方程；（2）若对任意[1,)x，不等式()0fx恒成立，求a的取值范围；（3）若()fx存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围.2、（南京市2019届高三第三次模拟）已知函数f(x)＝lnx＋ax＋1，a∈R．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；（2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数a的取值范围；（3）当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知函数(),xfxemxxR，其导函数为'()fx。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式()fx≥x2＋1剧成立，求实数m的取值范围；（3）若函数()fx有两个零点12,xx，求证：12'()'()0fxfx4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））已知函数()lnafxxaxR．（1）讨论()fx的单调性；（2）设()fx的导函数为()fx，若()fx有两个不相同的零点12xx，．①求实数a的取值范围；②证明：1122()()2ln2xfxxfxa．5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知函数21()2ln2fxxxaxa，R．（1）当3a时，求函数()fx的极值；（2）设函数()fx在0xx处的切线方程为()ygx，若函数()()yfxgx是0，上的单调增函数，求0x的值；（3）是否存在一条直线与函数()yfx的图象相切于两个不同的点？并说明理由．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1lnaxfxx（0a），e是自然对数的底数．（1）当0a时，求()fx的单调增区间；（2）若对任意的12x≥，1()2ebfx≥（bR），求ba的最大值；（3）若()fx的极大值为2，求不等式()e0xfx的解集．7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知函数2()(2)lnfxxaxax，其中aR．（1）如果曲线()yfx在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数()fx的极小值不超过2a，求实数a的最小值；（3）对任意1x[1，2]，总存在2x[4，8]，使得1()fx＝2()fx成立，求实数a的取值范围．8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln(R)fxxxaxa．（1）若()yfx在(1，(1)f)处的切线方程为0xyb，求实数a，b的值；（2）设函数()()fxgxx，x[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a＝﹣1时，求()gx的最大值；②若()()exgxhx是单调递减函数，求实数a的取值范围．9、（盐城市2019届高三第三次模拟）设函数xaexxf)(（e为自然对数的底数，Ra）.（1）当1a时，求函数)(xf的图象在1x处的切线方程；（2）若函数)(xf在区间(0,1)上具有单调性，求a的取值范围；（3）若函数)()()(xfeexgx有且仅有3个不同的零点321,,xxx，且321xxx，113xx,求证:1131eexx10、（江苏省2019年百校大联考）设函数32()ln(1)fxaxxbx，其中0b．（1）若0a，12b，求()fx在1,3上的最大值；（2）若23a，()fx在定义域内为减函数，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当nN时，不等式311lnnnnn恒成立．参考答案1、2、解：（1）f′(x)＝1x－ax2，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝lnx－1x＋1，此时f(1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b＝－2，所以a＝－1，b＝－2．····································································2分（2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋ax＋ax＋1，g′(x)＝1x－ax2＋a＝ax2＋x－ax2．①当a＝0时，g′(x)＝1x＞0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值．…………………………………………4分②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2.设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0)，（i）若a＞0，若x2∈(0，12)，则m(0)＝－a＜0，m(12)＝a4＋12－a＞0，解得0＜a＜23．此时x∈(0，x2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；x∈(x2，12)时，m(x)＞0，则g(x)递增，当x＝x2时，g(x)取极小值，即为最小值．若x2≥12，则x∈(0，12)，m(x)＜0，g(x)在(0，12)单调减，无最小值．····························································································6分（ii）若a＜0，x∈(0，x2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；x∈(x2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值．所以a＜0不满足条件．综上，当0＜a＜23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值．…………………………8分（3）当a＝0时，由方程f(x)＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0，记h(x)＝lnx＋1－bx2，x＞0，则h′(x)＝1x－2bx＝－2bx2＋1x．①当b≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根，所以b≤0不符合题意．………………………………………………………10分②当b＞0时，当x∈(0，12b)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增；当x∈(12b，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减，则h(x)max＝h(12b)＝ln12b＋12．要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，则h(12b)＝ln12b＋12＞0，解得0＜b＜e2．………………………………12分（i）当0＜b＜e2时，h(1e)＝－be2＜0．又(1e)2－(12b)2＝2b－e22be2＜0，则1e＜12b，所以存在唯一的x1∈(1e，12b)，使得h(x1)＝0．…………………………14分（ii）h(1b)＝ln1b＋1－1b＝－lnb＋1－1b，记k(b)＝－lnb＋1－1b，0＜b＜e2，因为k′(b)＝－1b＋1b2＝1－bb2，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k(b)max＝k(1)＝0，则h(1b)≤0．又(1b)2－(12b)2＝2－b2b2＞0，即1b＞12b，所以存在唯一的x2∈(12b，1b]，使得h(x2)＝0，综上，当0＜b＜e2时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．………………16分3、4、【解】（1）()fx的定义域为0+，，且2()xafxx．（1.1）当0a≤时，()0fx成立，所以()fx在0+，为增函数；………2分（1.2）当0a时，（i）当xa时，()0fx，所以()fx在+a，上为增函数；（ii）当0xa时，()0fx，所以()fx在0a，上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当0a≤时，()fx至多一个零点，不合题意；当0a时，()fx的最小值为()fa，依题意知()=fa1ln0a，解得10ea．……………………………………6分一方面，由于1a，10fa，()fx在a，为增函数，且函数()fx的图象在1a，上不间断．所以()fx在a，上有唯一的一个零点．另一方面，因为10ea，所以210eaa．2211()ln2lnfaaaaa，令12lngaaa，当10ea时，2212210agaaaa，所以211()2ln20fagaageae又()0fa，()fx在0a，为减函数，且函数()fx的图象在2aa，上不间断．所以()fx在0a，有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是10e，．……………………………………………10分②设1122121211=2+aaaapxfxxfxxxxx．又1122ln0ln0axxaxx，，则122lnpxx．………………………………………12分下面证明212xxa．不妨设12xx，由①知120xax．要证212xxa，即证212axx．因为2120axax，，，()fx在0a，上为减函数，所以只要证212affxx．又12==0fxfx，即证222affxx．……………………………………14分设函数22ln2lnaxaFxffxxaxaxax．所以220xaFxax，所以Fx在+a，为增函数.所以20FxFa，所以222affxx成立．从而212xxa成立.所以122ln2ln2pxxa，即11222ln2xfxxfxa成立.…16分5、【解】（1）当3a时，函数21()2ln32fxxxx的定义域为0，．则2232()3xxfxxxx，令()fx0得，1x或2x．……………………………