中考必会几何模型中点四大模型

中点四大模型模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线EEDCBAFFABCDABCDDCBA模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．FEDCBA1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围．DCBA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMDCBA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD＝DC，∴ED＝DN．在△BED与△CND中，∵DNEDCDNBDEDCBD∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE＝NC．∵∠MDN＝90°，∴MD为EN的中垂线．∴EM＝MN．∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°．∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．∴∠BAC＝90°．∴AD2＝(21BC)2＝41（AB2＋AC2）．模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．连接中线ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”．模型实例如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度．NMCBAABCMN解答：连接AM．∵AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，∴AM⊥BC，BM＝CM＝21BC＝3．∵AB＝5，∴AM＝4352222BMAB．∵MN⊥AC，∴S△ANC＝21MC·AM＝21AC·MN．即：21×3×4＝21×5×MN．∴MN＝512跟踪练习1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．FEDCBA证明：连结AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△AED与Rt△AFD中，ADADAFAB，∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）∴∠ADE＝∠ADF，∵∠ADB＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC．2．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DF⊥AC于E时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝21S△ABC；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABCDEFABCDEFFEDCBA解：（1）连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝21∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝21AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，BDCBBDCD21，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝21S△ABC；（2）不成立；S△DEF−S△CEF＝21S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE＋S△DBC，＝S△CFE＋21S△ABC，∴S△DEF－S△CFE＝21S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S△CEF＝21S△ABC．21ABCDEF模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EABCDDCBA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝21BC来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．NMFEDCBA解答如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH＝21AB，FH∥AB，HE＝21DC，HE∥NC．又∵AB＝CD，∴HE＝HF．∴∠HFE＝∠HEF．∵FH∥MB，HE∥NC，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠FEH．∴∠BME＝∠CNE．练习：1.（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DE∥BC，DE=12（AB+BC+AC）；（2）如图2，BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.EDCBA图1GFEDCBA图2FEDCBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中，ABDDBKBDBDBDABDK∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.∴DE=12HK.又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.∴DE=12（AB+AC+BC）.（2）猜想结果：图②结论为DE=12（AB+AC-BC）证明：分别延长AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中ABDDBKBDBDBDABDK∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB同理可证，AE=HE，AC=HC.∴DE=12HK.又∵HK=BK+CH-BC=AB+AC-BC∴DE=12（AB+AC-BC）GABCDEKHF图2（3）图③的结论为DE=12（BC+AC-AB）证明：分别延长AE，AD交BC或延长线于H，K.在△BAD和△BKD中，ABDDBKBDBDBDABDK∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.∴DE=12KH.又∵HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-AB∴DE=12（BC+AC-AB）.ABCDEKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.图1NMOFEDCBAE图2GABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC中点H，连接FH，EH，如图①）（2）△AGD是直角三角形如图②，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE.∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=12AB.∴∠1=∠3.同理，HE∥CD，HE=12CD，∴∠2=∠EFC，∴AB=CD，∴HF=HE.∴∠1=∠2.∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.∴△AGF是等边三角形.∴AF=FG.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形.图2321GABCDFEH模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线DCBADCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=12AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.模型实例如图，在△ABC中，BE，CF分别为AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M，求证：FM=EM.MFEDCBA证明连接DE，DF.BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DF=12BC，DE=12BC.DF=DE，即△DEF是等腰三角形.DM⊥EF，点M是EF的中点，即FM=EM.ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，求DM的长度.MDCBA1.解答取AB中点N，连接DN，MN.在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，∴DN=12AB=BN=5.∴∠NDB=∠B.在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，∴MN∥AC∴∠NMB=∠C，又∵∠NDB是△NDM的外角，∴∠NDB=∠NMD+∠DNM.即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM.又∵∠B=2∠C，∴∠DNM=∠C=∠NMD.∴DM=DN.∴DM=5.NMDCBA2.已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，M为DE的中点，连接MB，MC，求证：MB=MC.MEDCBA2.证明延长BM交CE于G，∵△ABD和△ACE都是直角三角形，∴CE∥BD.∴∠BDM=∠GEM.又∵M是DE中点，即DM=EM，且∠BMD=∠GME，∴△BMD≌△GME.∴BM=MG.∴M是BG的中点，∴在Rt△CBG中，BM=CM.3.问题1：如图①，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为.问题2：如图②，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.图1MFEDCBA图2ABCDEFM图3ABCDEFM3.解答∵（1）AE⊥BC，BF⊥AC，∴△AEB和△AFB都是直角三角形，∵D是AB的中点，∴DE=12AB，DF=12AB.∴DE=DF.∵DE=KDF，∴k=1.（2）∵CB=CA，∴∠CBA=∠CAB.∵∠MAC=∠MBC，∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.∴AM=BM.∵ME⊥BC，MF⊥AC，∴∠MEB=∠MFA=90°.又∵∠MBE=∠MAF，∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE=AF.∵D是AB的中点，即BD=AD，又∵∠DBE=∠DAF，∴△DBE≌△DAF（SAS）图1MFEDCBA∴DE=DF.（3）DE=DF.如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH.∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM