初三自主招生拓展内容教学案2正余弦定理拓展

第1页正余弦定理知识梳理：正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，要求熟练掌握并加以运用。掌握面积公式。正弦定理：△ABC中，bCAaBCcAB,,，R为其外接圆半径，则RCcBbAa2sinsinsin。余弦定理：△ABC中，bCAaBCcAB,,，则Abccbacos2222或写成bcacbA2cos222。例题精讲：例1：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）0150参考答案例1：答案：A解析：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得232322cbcbRR，所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300例2．已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．命题目的：本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC第2页22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．例3、ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若sinsinsinacBbcAC.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若22()cos()sin()fxxAxA，求()fx的单调递增区间.【解析】（Ⅰ）由sinsinsinacBbcAC，得acbbcac，即222abcbc，由余弦定理，得1cos2A，∴3A；（Ⅱ）22()cos()sin()fxxAxA22cos()sin()33xx221cos(2)1cos(2)3322xx1cos22x由222()kxkkZ„„，得()2kxkkZ„„，故()fx的单调递增区间为[,]2kk，kZ例4、在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且10103cos,21tanBA（1）求tanC的值;（2）若⊿ABC最长的边为1，求b。解：（1）310cos0,10BB锐角,且210sin1cos10BB,sin1tancos3BBB,11tantan23tantan()tan()1111tantan123ABCABABAB(2)由(1)知C为钝角,C是最大角,最大边为c=1,2tan1,135,sin2CCC,由正弦定理:sinsinbcBC得101sin510sin522cBbC。第3页例5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的外接圆半径R=3，且满足BCABCsinsinsin2coscos.(1)求角B和边b的大小；(2)求△ABC的面积的最大值。解析(1)由BCABCsinsinsin2coscos整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB∴sin(B+C)=2sinAcosB∴sinA=2sinAcosB∴cosB=21∴B=3∵b=2RsinB∴b=3(2)∵ABCS=)32sin(sin33sinsin3sin212AACARBac21)62sin(233A∴当A=3时,ABCS的最大值是439例6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且.21222acbca（1）求BCA2cos2sin2的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由余弦定理：conB=14sin22AB+cos2B=-14（2）由.415sin,41cosBB得∵b=2，a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为315例7、在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；第4页（II）若21ab，求abc、、的值。解（I）∵AB、为锐角，510sin,sin510AB∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB∴4AB（II）由（I）知34C，∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac例8、设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，3cos()cos2ACB，2bac，求B。解析：由3cos()cos2ACB，易想到先将()BAC代入3cos()cos2ACB得3cos()cos()2ACAC。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sinsin4AC；又由2bac，利用正弦定理进行边角互化，得2sinsinsinBAC，进而得3sin2B.故233B或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B时，由1coscos()2BAC，进而得3cos()cos()212ACAC，矛盾，应舍去。第5页也可利用若2bac则babc或从而舍去23B。不过这种方法学生不易想到。例9、在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.解：（Ⅰ）由2CA，且CAB，∴42BA，∴2sinsin()(cossin)42222BBBA，∴211sin(1sin)23AB，又sin0A，∴3sin3A（Ⅱ）如图，由正弦定理得sinsinACBCBA∴36sin3321sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32261633333∴116sin63232223ABCSACBCC例10、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．4cos5C，2coscbA．（Ⅰ）求证：AB；（Ⅱ）若△ABC的面积152S，求c的值【解析】（Ⅰ）证明：因为2coscbA，由正弦定理得sin2sincosCBA，所以sin()2sincosABBA，sin()0AB，在△ABC中，因为0πA，0πB，所以ππAB所以AB（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知ab．因为4cos5C，所以3sin5C．因为△ABC的面积152S，所以115sin22SabC，5ab．由余弦定理2222cos10cababC所以10c．ABC第6页例11、在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为,,abc，8ABAC，BAC，4a.（Ⅰ）求bc的最大值及的取值范围；（Ⅱ）求函数22()23sin()2cos34f的最值.【解析】（Ⅰ）cos8bc，2222cos4bcbc即2232bc又222bcbc所以16bc，即bc的最大值为16即816cos所以1cos2，又0＜＜所以0＜3（Ⅱ）()3[1cos(2)]1cos233sin2cos212f2sin(2)16…9分因0＜3，所以6＜5266，1sin(2)126当5266即3时，min1()2122f当262即6时，max()2113f