初三自主招生拓展内容教学案5函数拓展

第1页函数知识梳理：函数的概念：如果在某个变化的过程中有两个变量yx,，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，y是x的函数，记作)(xfy.求函数的定义域时，一般应考虑:1使函数的表达式有意义的x的取值范围,目前主要考虑的是：偶次方根的被开方数不小于零；分母不等于零；零的零次幂没有意义.2实际问题的背景所允许的取值范围.例如：2rS表示圆的面积时，r的取值范围应是,0r.函数的运算：fxgx、fxgx（此时必须两个函数都有意义，即和（积）函数的定义域为两个函数的交集）函数的单调性：一般地，设函数()yfx的定义域为A,区间IA：如果对于区间I内的任意两个值12,xx.当12xx时，都有12()()fxfx那么就说()yfx在区间I上是减函数，I称为()yfx的单调减区间.一般地，设函数()yfx的定义域为A,区间IA：如果对于区间I内的任意两个值12,xx.当12xx时，都有12()()fxfx那么就说()yfx在区间I上是增函数，I称为()yfx的单调增区间.偶函数：如果对于函数yfx的定义域D内的任意实数a，都有fafa，那么就把yfx函数叫做偶函数。奇函数：如果对于函数yfx的定义域D内的任意实数a，都有fafa，那么就把yfx函数叫做奇函数。第2页由上述定义可以知道，函数定义域D关于原点对称是函数具有的先决条件。偶函数图像关于y轴对称；奇函数图像关于原点对称零点的定义：一般地，如果函数)(xfy在实数a处的值等于零，即0)(af，则a叫做这个函数的零点；方程的根函数与x轴的交点的横坐标函数的零点函数零点的求法：求函数)(xfy的零点就是求相应的方程0)(xf的根，一般可以借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点.函数)(xfy在区间],[ba上存在零点的条件：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是一条不间断的曲线，且0)()(bfaf，则函数)(xfy在区间),(ba内有零点.常见的函数的值域：一次函数（如1yx）二次函数（如21yx）反比例（如1yx）耐克函数（如1yxx）双增函数（如1yxx）定义域RR(,0)(0,)(,0)(0,)(,0)(0,)值域R[1,)(,0)(0,)(,22][22,)R单调性单调递增在(,0)上单调递减在(0,)上单调递增在(,0)上单调递减；在(0,)上单调递减在(,1)和(1,)上单调递增；在(1,0)和(0,1)上单调递减在(,0)和(0,)耐克函数：双增函数：第3页例题精讲：例1：已知函数)(xfy的定义域为[0，4]，求函数(3)yfx的定义域.例2：二次函数()fx满足(1)fx+(1)fx224xx，则()fx＝____________.例3：已知xxfxf3)(2)(，则)(xf＝____________.例4：函数()fx满足22111()xxfxxx，则()fx＝______.例5：设函数(),0,1afxxxx（1）当2a时，求函数()fx的最小值；（2）当01a时，试判断函数()fx的单调性，并证明第4页例6：求函数2462()3xxy的单调递减区间。例7：已知二次函数mxmxxf2)1(2在1,0上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．例8：求函数xxy142的值域例9：求函数541xyx的值域。第5页例10：求函数y=1122xxxx值域同步练习：练习1：若函数()fx的定义域为[0，4]，则求函数()fx的定义域.练习2：已知)(xf是x的一次函数，且14)]([xxff，则)(xf＝____________练习3：函数()fx满足1()()afxfaxx（,0xRx，a1），则()fx＝____________.练习4：若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=______.练习5：已知a、b是正整数，函数)(2)(bxbxaxxf的图像经过点)31(，．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在]01(，上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．第6页练习6：求函数322xx的单调递增区间.练习7：若方程2210ax在(0,1)内恰有一解,求实数a的取值范围。练习8：求函数212yxx的值域。练习9：求函数125xyx的值域。第7页练习10：求函数2231xxyxx的值域。参考答案例1：答案：1,3x解析：这是抽象函数的定义域问题，跟学生一定要强调“明确定义（定义域是指x的范围），等价转换（)(xf中x的范围和(3)yfx中3x的范围一致）”例2：答案：()fx122xx解析：设cbxaxxf2)(，则xxcabxaxxfxf422222)1()1(22则有0224222caba得到121cba，从而解得()fx122xx.例3：答案：xxf3)(例4：答案：2()1(1)fxxxx解析：用配凑法1)11()11(111112222xxxxxxx，所以2()1(1)fxxxx注意本题也可以用换元法解，求解析式时要注意定义域。第8页例5：答案：（1）min()221fx(2）()fx在0,上为增函数解析：（1）当2a时，22()1111fxxxxx221当且仅当211xx，即21x时取等号，∴min()221fx(2）当01a时，任取120xx121212()()()1(1)(1)afxfxxxxx∵01a，12(1)(1)1xx，∴1210(1)(1)axx∵12xx，∴12()()fxfx,即()fx在0,上为增函数此题其实并不难，但对于学生而言，函数增加字母系数难度就会上去，所以老师一定要强调标准步骤解题，还有其实这类函数是学生熟悉的奈克函数的平移，授课过程中也可以让学生先画图再解题，培养学生数形结合思想。例6：答案：,2解析：复合函数的单调性判断：同增异减例7：答案：（1）当方程02)1(2mxmx在1,0上有两个相等实根时无解．（2）当方程02)1(2mxmx有两个不相等的实根时，实数m的取值范围为0,2．解析：（1）当方程02)1(2mxmx在1,0上有两个相等实根时，0812mm且1210m，此时无解．（2）当方程02)1(2mxmx有两个不相等的实根时，①有且只有一根在1,0上时，有010ff，即022mm，解得02m．②当00f时，m＝０，02xxxf，解得1,021xx，合题意．③当01f时，2m，方程可化为0432xx，解得4,121xx合题意．第9页综上所述，实数m的取值范围为0,2．【在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．本题中要特别注意在1,0上有二重根；②终点的函数值可能为０．】例8：答案：[,4]解析：设1tx则0t21xt代入得2()2(1)4yfttt222422(1)4ttt∵0t∴4y∴函数的值域为[,4]【换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域..】例9：答案：(,5)(5,)解析：545(1)995111xxyxxx，∵1x∴901x∴5y∴函数值域为(,5)(5,)．例10：答案：1[,3]3解析：∵221331()0244xxx，∴函数的定义域为R，原式可化为22(1)1yxxxx,整理得2(1)(1)10yxyxy，若1y,即21x,则1x；若1y,∵xR，即有0，∴22(1)-4(1)0yy-,解得133y且1y.综上：函数是值域是1[,3]3.【判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式..】练习1：答案：2,0x练习2：答案：()fx12)(,312xxfx.解析：待定系数法求诸如一次函数，二次函数等已知类型的函数解析式第10页练习3：答案：1)(22aaxxaxf练习4：答案：223xx练习5：答案：(1)122)(xxxf)1(x．(2)]01()1(122)(，在xxxxf上是减函数．解析：(1)由函数)31()(2)(，的图像过点bxbxaxxf，知2)1)(3(123baba，．又均为正整数、ba，故2103ba，．于是，必有122113baba，即．所以122)(xxxf)1(x．(2)结论：]01()1(122)(，在xxxxf上是减函数．证明：设2121]01(xxxx实数，且内的任意两个不相等的，是、．)122(122)()(221121xxxxxfxf=)1)(1()(2)(2211221xxxxxx=)1)(1()1()(22121221xxxxxxx．又0)1(01001012122212121xxxxxxxxxx，，，故，，．于是，)1)(1()1()(22121221xxxxxxx0,即)()(0)()(2121xfxfxfxf，．所以，函数]01()1(122)(，在xxxxf上是减函数．练习6：答案：1,1解析：注意先求定义域练习7：答案：12a解析：设函数2()21fxax，由题意可知，函数()fx在(0,1)内恰有一个零点.∴0)12(1)1()0(aff，解得12a.练习8：答案：5(,]4解析：令12tx（0t）（引入新元要标注范围），则212tx，第11页∴22151()24yttt（0t）∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。∴函数212yxx的值域为5(,]4。练习9：答案：21y解析：∵177(25)112222525225xxyxxx，∵72025x，∴12y，∴函数125xyx的值域为1{|}2yy练习10：答案：11{|1}3yy解析：定义域为：∵xR由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；（特殊情况优先）当1y时，∵xR说明方程至少有解，∴2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，∴1113y∴函数2231xxyxx的值域为11{|1}3yy