初三自主招生拓展内容教学案9直线方程与基本曲线方程拓展

第1页直线方程与基本曲线方程知识梳理:一、直线的一般式方程0CByAx(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式新疆学案王新敞任何一条直线的方程都是关于yx,的二元一次方程，任何关于yx,的二元一次方程都表示一条直线一般地，与直线0axbyc平行的直线可设为0()axbyccc其中；而与直线0axbyc垂直的直线可设为0bxayc.二、倾斜角的概念一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为,0.斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。三、求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=1212xxyy.③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=mn.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.斜率的图象如下图.对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.四、直线方程的几种形式：名称方程适用范围斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线点斜式00()yykxx不含直线x=x0截距式1xyab不含过原点的直线第2页两点式121121xxxxyyyy不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)一般式)0(022BACByAx平面直角坐标系内的直线都适用五、圆的一般方程将圆的标准方程：222()()xaybr展开，整理，得22222220xyaxbyabr，可见，任何一个圆的方程都可以写成220xyDxEyF①的形式。反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）将①配方得：22224()()224DEDEFxy．②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240DEF时，方程①表示以(,)22DE为圆心，22142DEF为半径的圆；（2）当2240DEF时，方程①表示一个点(,)22DE；（3）当2240DEF时，方程①不表示任何图形．结论：当2240DEF时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x和2y的系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的必要条件，但不是充分条件．说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、E、F就可以了．3、二元二次方程022FEyDxCyBxyAx，表示圆的方程的充要条件是：①2x项2y项的系数相同且不为0，即0CA；②没有x、y项，即B=0；③0422AFED。4、点与圆的位置关系（1）已知圆222xaybr，圆心,Cab，则点000,Pxy在第3页222002220022200xaybrxaybrxaybr圆上圆外圆内（2）若点P是圆C外一定点，则该店与圆上的点的最大距离为PCr，最小距离为PCr.5、直线和圆位置关系的判定方法：（1）方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。①Δ＞0，直线和圆相交；②Δ=0，直线和圆相切；③Δ＜0，直线和圆相离。（2）方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。①d＜R，直线和圆相交；②d=R，直线和圆相切；③d＞R，直线和圆相离。6、直线和圆位置关系的判定方法：（1）方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。①Δ＞0，直线和圆相交；②Δ=0，直线和圆相切；③Δ＜0，直线和圆相离。（2）方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。①d＜R，直线和圆相交；②d=R，直线和圆相切；③d＞R，直线和圆相离。*六、椭圆的定义及性质1、定义：平面内到两个定点12,FF的距离之和等于定长（12FF）的点的轨迹2、椭圆的方程及性质标准方程椭圆1C：22221xyab（0ab）；椭圆2C：22221yxab（0ab）；几何性质焦点坐标1,0Fc，2,0Fc10,Fc，20,Fc顶点1,0Aa，2,0Aa；10,Bb，20,Bb；10,Aa，20,Aa；1,0Bb，2,0Bb；范围x≤a，y≤b；x≤b，y≤a；对称性关于,xy轴均对称，关于原点中心对称；第4页*七、双曲线1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。说明：①||PF1|-|PF2||=2a（2a|F1F2|）是双曲线；若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a|F1F2|时无轨迹。②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1||MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1||MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。2、双曲线的方程及几何性质标准方程)0b,0a(1byax2222)0b,0a(1bxay2222图形,,abc的关系22cab第5页焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）对称轴实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2渐近线方程0,0byaxbyax0,0aybxaybx*八、抛物线1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。2、抛物线的标准方程及图像：图形xyOFlxyOFlxyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离第6页例题精讲：例1已知点1,1P，直线l的方程为2210xy（1）求过点P，倾斜角为l的倾斜角的一半的直线方程；（2）求过点P，倾斜比为l的倾斜角大45°的直线方程例2、如图所示，过点2,1P作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于,AB两点，求AOB面积的最小值以及直线l的方程。例3直线方程0AxByC的系数,,ABC满足什么关系时，这条直线有如下性质？（1）与两坐标轴都相交（2）只有x轴相交（3）只与y轴相交（4）是x轴所在的直线（5）是y轴所在的直线（6）过原点且不是坐标轴例4已知圆2280xyxym与直线260xy相交于P、Q两点，定点(1,1)R，若PRQR，求实数m的值．例5、已知动圆过定点1,0P，且与定直线:1lx相切，第7页⑴求动圆圆心M的轨迹方程；⑵设过点P，且斜率为3的直线与曲线M相交于,AB两点，点C在l上.问ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，也请说明理由.同步练习：1.如果直线10axy与直线320xy互相垂直，那么实数a的值为（）A3B13C13D32．两直线40axby和10axyb都平行于直线230xy，则,ab的值为（）A3,32abB2,33abC3,32abD2,33ab3.三角形的两条高所在直线方程2310xy和0xy，点1,2A是它的一个顶点，求BC所在直线的方程.4.若直线:30lxy，一束光线从点1,2A处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点，⑴试判断由此得到的ABC是有限个还是无限个？请说明理由；⑵依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的ABC面积最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC方程；第8页5.ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程。6.求经过两点P(－2,4)，Q(3,－1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程7.已知圆M经过直线l:2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x－4y+1=0的交点，且圆M的圆心到直线2x+6y－5=0的距离为310，求圆M的方程8、已知圆C的方程为x2+y2+(m-2)x+(m+1)y+m-2=0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径。第9页（1）圆的面积最小；（2）圆心距离坐标原点最近。参考答案【例题部分】例1：【解】（1）设直线l的倾斜角为，则2tan220216cos3tan1所以所求直线的斜率为1costan3221cosk所以所求直线方程为1321yx即323210xy（2）设直线l的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为45°，那么所求直线的斜率为tan45322k所以所求直线方程为13221yx，即3222240xy第10页例2：【答案】解法一：设直线l的方程为12ykx令210,kyxk则令0,12xyk则21,0,0,122kABk，又两点在正半轴所以21002120kkk1114422AOBSOAOBkk由10,40kk有114244kkkk当且仅当114,2kkk时，AOBS有最小值为4，此时l的方程240xy解法二：设直线l的方程为：10,0xyabab2112,12Plab在上，21211242ababab当且仅当2a112b时，即4,2ab时，AOBS有最小值为4，此时l的方程240xy解法三：由解法一可知121122kSkk，整理得，242210kSk2421604kRSS当且仅当142S时，k，以下同解法一第11页解法四：由解法二得22ba所以211422422222AOBaSabaaa当且仅当224,4aa，以下同解法二解法五：由解法四得21222AOBaSaba，整理得，2240aaSS241604SSS当4S时，以下同解法二解法六：如图，过P分别做x轴、y轴的垂线,PMPN,并设,PAM021121cot22tan22112cottan22cottan422ABPAMBPNSSS当且仅当11cottan,tan22即，S有最小值4，此时l的斜率12k例3：【答案】（1）当,AB都不为零，即0AB，直线与两坐标轴都相交（2）当0,0AB时，直线的方程可以写成CxA,它只与x轴相交（3）当0,0AB时，直线的方程可以写成CyB,它只与y轴相交（4）当0,0ACB时，直线的方程可以写成0y,它是一条与x轴