初三自主招生教学案15奇偶性

第1页奇偶性知识梳理：1、奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数。2、两个整数的和与差具有相同的奇偶性。3、若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数。4、任何一个正整数n，都可以写成2mnl的形式，其中m为负整数，l为奇数。例题精讲：例1：求方程()120xxyz的素数。（注：,,xyz均为素数的一组解(,,)xyz叫素数解）例2：在1,2,3,,1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到的最小非负数。例3：试判断12320002001的和是奇数还是偶数？例4：证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除。例5：设,ab是正整数，且满足关系式(11111)(11111)123456789ab。求证：ab是4的倍数。第2页同步练习：练习1：有n个整数，其积为n，其和为0，求证：n是4的倍数。练习2：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064因此4、12、20都是“神秘数”。（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？是8的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？练习3：证明：方程222002xy没有整数解。练习4：若n是大于1的整数，则1(1)22(1)npnn的值（）A．一定是偶数B、一定是奇数C、是偶数但不是2D、可以使偶数也可以使奇数参考答案例1：答案：（2,59,2）和（11,2,23）解析：若z为偶素数，则2,()122261zxxy，故2,59xy，得到原方程的一组素数解（2,59,2）.若z为奇素数，则()xxy是奇数，从而,xxy都是奇数，y必为偶数，即2y，于是(2)120xxz，第3页即(120)(10)xxz。因为z时素数，所以12,101xzx，即11,23xz，得到一组素数解（11,2,23）。综上所述得原方程的素数解为（2,59,2）和（11,2,23）。例2：答案：1解析：除995外，可将1,2,3,,1989所有数分994对：(1,1989),(2,1988),(3,1987),,(994,996)每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“+”、“-”号，运算结果只能是偶数。而995为奇数，所以1,2,3,,1989得总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于1.数1可用下列方式求得：11(2345)(6789)(1986198719881989)。所以和式可以得到的最小非负数是1.例3：答案：奇数解析：原式=(1234)(5678)(1997199819992000)2001因为括号里的和都是偶数，所以只看2001是奇数，所以最后的和为奇数。例4：答案：证明：设三个练习的奇数分别为21,21,23nnn（其中n是整数），于是2222(21)(21)(23)112(1)nnnnn所以222(21)(21)(23)1nnn是12的倍数。又21(1)1nnnn，而,1nn是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以(1)nn是偶数，从而21nn是奇数。所以222(21)(21)(23)1nnn能被12整除，不能被24整除。例5：答案：证明：(11111)(11111)123456789ab变形为11111()2468abab先来判断,ab的奇偶性：若,ab都是奇数时，ab为奇数，而ab为偶数，那么11111()ab为偶数，一个偶数减去一个奇数，结果应该是奇数，而不是偶数2468，所以,ab都是奇数不成立；若,ab一个位奇数，一个位偶数时，ab为奇数，而ab为偶数，那么11111()ab为偶数，一个偶数减去一个奇数，结果应该是奇数，而不是偶数2468，所以,ab都是奇数不成立；所以,ab只能都为偶数，那么ab是4的倍数，而2468也是4的倍数，所以11111()ab也是4的倍数，即ab是4的倍数。练习1：答案：证明：设这n个整数是12,,,naaa，依题意有12naaan（1）第4页120naaa（2）若n为奇数，则由（1）知12,,,naaa均为奇数。但奇数个奇数之和不可能为0，与（2）矛盾。若n为偶数，则由（1）知12,,,naaa中至少有一个为偶数，设ka为偶数。由（2）知，必有另外一个偶数()mamk，从而kmaa是4的倍数，故n事4的倍数。练习2：答案：（1）28与2012这两个数是“神秘数”。22222886;201250450228,2012这两个数是“神秘数”。（2）两个连续偶数的平方差所构成的“神秘数”是4的倍数。因为22(22)(2)(222)(222)(42)24(21)kkkkkkkk而k为非负整数，所以21k是正奇数，22(22)(2)kk是4的倍数，不是8的倍数。（3）两个连续奇数的平方差不是“神秘数”。因为22(21)(21)(2121)(2121)428kkkkkkkk两个连续奇数的平方差是8的倍数，而“神秘数”只是4的倍数，不是8的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”。练习3：答案：证明：222002xy整理得，()()21001271113xyxy，2002分解成一个偶数和一个奇数的乘积。（1）如果x和y都是奇数，则xy和xy都是偶数，矛盾。（2）如果x和y都是偶数，则xy和xy都是偶数，矛盾。（3）如果x和y一个是偶数，一个是奇数，，则xy和xy都是奇数，矛盾。综上所述，方程没有整数解。练习4：答案：B解析：当n为奇数时，21pnn，此时p的值为奇数；当n为偶数时，1pn，此时p的值为奇数。所以选B。