初三自主招生教学案18分式

第1页分式知识梳理：1、分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成BA的形式。如果B中含有字母，式子BA叫做分式。2、分式的基本性质：MBMABA；0MMBMABA3、分式的运算：（1）加减法：ABABCCC；ABADBCCDCD（2）乘除法：BDACDCBA；BCADCDBADCBA（3）乘方：nnnBABA4、整数指数幂（1）正整数指数幂：个naaaan（2）零指数幂：010aa（3）负整数指数幂：是正整数，paaapp01例题精讲：题型一：化简求值例1：若bccba222，则cabbac的值是例2：（1）12a，13b，则2223352aabaabb________；（2）若2220xxyy，则22223xxyyxy____；例3：设ba、是实数，且abba11111，则ab11=例4：化简分式：222223253452851223aaaaaaaaaaaa例5：已知1abc，求111ccacbbcbaaba的值。题型二：设k法例1：已知cba、、均为非零实数，满足acbabcbaccba，则abccbcaba=题型三：拆项相消法例1：（1）试证：11111nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1091321211；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有2111431321nn．例2：化简分式：1271651231222xxxxxx题型四：因式分解法例1：已知实数cba、、满足80abccba，，则cba111的值为（）A.正数B.零C.负数D.可为正数，也可以为负数例2：化简求值：222222222222acbbaccbaacbbcacba例3：化简求值：xxxxxxxxxxxxx12112111131131322322第3页题型五：求倒拆分法例1：已知02112aaaxxx，，求分式1242xxx的值。例2：已知实数cba、、满足条件514131caaccbbcbaab，，，求acbcababc的值。同步练习：练习1：计算：)111()111(3cbaccbbaacabcababc_____________。练习2：正数,xy满足222xyxy，则xyxy=．练习3：已知cyxzbxzyazyx，，，求证：1111ccbbaa练习4：若aczcbybax（cba，，互不相等），求证0zyx练习5：设正整数nm、满足nm，且23111111222nnmmmm，求nm的值。练习6：试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)nnn＜14．练习7：已知cba、、为实数，且满足下式：1222cba，①3111111bacacbcba，②，求cba的值。练习8：化简（式中cba、、两两不相等）：abbcaccbacacbcabbacbbcacabacba222222练习9：化简分式：322131111111222222xxxxxxxxxxxxxx练习10：若112mxxx，求13363xmxx的值。第5页参考答案题型一：化简求值例1：答案：1解析：直接通分，得到原式=acabbcaacabcb222，根据已知条件222cbbca，所以原式等于1。说明：如果方程或代数式没有很强的规律性，可以先直接通分，找到与已知条件相关的结论得到答案。例2：答案：（1）73；（2）5125或解析：（1）原式=7331221212233baabababaa。说明：若直接带入求解较复杂，若分子分母能因式分解，然后能够约分，可先化简再计算。（2）已知方程可因式分解，求得020yxyx或，所以yxyx2或，分别带入原式求解即可。例3：答案：253解析：观察到题目中有两处ba11和，且abab11，所以不妨设ybxa11，，则原方程可化为yx，的二元二次方程0322xxyy，根据公式法得xy253，所以原式=253xy。说明：如果方程或代数式中有较强的规律性，可以用整体思想，必要的时候设未知数求解。例4：答案：84(1)(2)(2)(3)aaaaa解析：原式=222211236112aaaaaaaa22362412626123aaaaaaaa=11(21)(3)12aaaa11(32)(22)23aaaa=(21)(3)(32)(22)aaaa1111()1223aaaa=11111223aaaa=11(1)(2)(2)(3)aaaa=(2)(3)(1)(2)(1)(2)(2)(3)aaaaaaaa=84(1)(2)(2)(3)aaaaa说明：直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多。例5：答案：1解析：本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂，巧妙的利用abc代替1，从而使化简更简洁。下面提供三种化简变形的方法，同学们可仔细体会，领会其化简中的本质的东西。解法一：因为1abc，所以cba、、都不为零。原式=11ccacbbbbcbabcaaba=bbcbcabcbbcbbcb111=bbcbcbbcbbcb1111=bcbbcb11=1解法二：因为1abc，所以cba、、都不为零。原式=111ccacababbbcbaaaaba=ababcabcaabcaababcabaaba1=abaaababaaba1111=11aababa=1解法三：由1abc，得bca1，将之代入原式原式=1111111cbcccbbcbbcbbcbc=bbcbcbbcbbcb1111=bcbbcb11=1题型二：设k法例1：答案：8或﹣1解析：令kacbabcbaccba，则③②①akcbbkcackba111①+②+③有acbabcbaccba所以01kcba，故有1k，或0cba第7页当1k时，8222abcabcabccbcaba当0cba时，1abcabcabccbcaba说明：引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用。题型三：拆项相消法例1：答案：（1）证明：11(1)11(1)(1)nnnnnnnn，111(1)1nnnn（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知111122391011111(1)()()2239101110＝910．（3）证明：1112334(1)nn＝111111()()()23341nn＝1121n，又2n，且n是正整数，11n一定为正数，11112334(1)2nn解析：111(1)1nnnn是常考的一种变形。例2：答案：4532xx解析：原式=431321121xxxxxx=413131212111xxxxxx=45341112xxxx说明：三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简。本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有11nxnx的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧。题型四：因式分解法例1：答案：C解析：常见的代数式化简：abcacbcabcba111，常用的三数和平方公式：acbcabcbacba22222例2：答案：1解析：原式=acbacbbacbaccbacbaacbacbbcabcacbacba=1cbacbacbabcacbaacbcbacba例3：答案：13212xxx解析：原式=111211122122111311122322322323322xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=132112111112111122222xxxxxxxxxxxxxxx题型五：求倒拆分法例1：答案：aa212解析：由题意得，axxxxx11112，所以111axx，22222212111aaaaxx，所以22222421111aaxxxxx，所以aaxxx2112242说明：当分式的分子为乘积式，分母为和时，可考虑求倒数。例2：答案：61解析：511411311acaccabcbccbababba，，，所以62543111cba所以6111cbaabcacbcab，所以61acbcababc同步练习：练习1：答案：1第9页解析：原式=1133)111(])111(3[3cabcababccabcababccbacbacabcababc练习2：答案：21解析：解法一：由求根公式法得yx21，分别带入解得原式=21。解法二：观察发现yyxyxxyxyxyxyxyx2222，，，所以不妨设byxayx，，所以原方程可化为222abab，整理得bababa210222，，所以21bayxyx练习3：证明略解析：观察式子ccbbaa111，，很有规律，不妨先算其中一个找到规律：zyxxaazyzyxa11，所以1111zyxzyxzyxzzyxyzyxxccbbaa练习4：证明略解析：用设k法，设原式为k，得到三个方程，相加即可。练习5：答案：527解析：231111112111111111222nmnnmmmmnnmmmm根据11111nnnn，所以11111nnnn，因为23221221231，所以2322122nm，练习6：证明略解析：因为21221221111