初三自主招生教学案22高次方程组

第1页高次方程及方程组知识梳理：一、高次方程在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1解方程084223xxx解析：原方程可变形为0)2(4)2(2xxx，0)4)(2(2xx，0)2()2(2xx，所以2,2321xxx说明当0bcad时，形如023dcxbxax的方程可这样。解决：令,0kdcba则dkcbka,，于是方程023dckbxax，可化为023ddkxbxbkx，即0))(1(2dbxkx。方程0234dcxbxbxax也可以用类似的方法处理。例2解方程19)7)(4)(1)(2(xxxx解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得19)45)(145(22xxxx设552)45()145(222xxxxxxy①第2页则19)9)(9(yy，即19812y解得：1021、y，将21yy，的值代入①式得255-2855-4321、、，xx说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3解方程6)1)(43()76(2xxx解我们注意到1)76(86)43(2xxx1)76(66)1(6xxx所以利用换元法．设76xy，原方程的结构就十分明显了．令76xy①由6)1)(43()76(2xxx得126)66)(86()76(2xxx即72)1)(1(2yyy，07224yy，0)9)(8(22yy．第3页因为82y＞0，所以只有3,092yy.代入①式，解得原方程的根为例4解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．第4页所以经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．例6解方程82)1()3(44xx解析：由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y-1)4＝82，整理得y4+6y2-40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．第5页解得原方程的根为x1=0，x2=-4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7解方程x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)=4(x2-2x+1)．所以所以a=x2-4x-2或a=x2-6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得二、方程组求解各种特殊类型的代数方程组的基本途径是将高次方程转化为低次方程，多元方程转化为一元方程。但在消元时，往往不按一般规则进行，而是利用方程组的特殊性质来简化求解过程。例1解方程组0zyx(1)2x2022zy(2)第6页560444zyx(3)解析：由（1）得yxz.由（2）得2222202zxyyxyx，再利用上式，得22202zxyz，10xy.由（3）得,56024222244zxyyxyx于是有,56020020422zz.3,360402zz因此得方程组10,3xyyx与10,3xyyx由这两个方程组可知x与y分别为一元方程01032uu与01032uu的一对根。解这两个二次方程，可得原方程组的解分别为325111zyx352222zyx325333zyx352444zyx例2解方程组0czbyax（1）0zyx（2）accbbaabzcaybcx(3)解由（1），可得,0czybyxa（4）由(2)，可得第7页01zyyx由（4）与（5）解出yx与zy得bacbzx，baaczy从而有kacycbx将cbkx，acky，bakz代入（3）得baaccbbaabaccacbbck由此解得1k于是bcx，cay，abz例3解方程组azcxzxcybzyzbxayxy222222cbazyx（0a，0b，0c）解将原方程组变形为222222cbazyxayzcxyxyzcxybxzxyzbxzayzxyz利用等比定理，可得222222cbazyxcxybxybxzayzayzcxyxyzxyzxyz，即22222222cbazyxax（1）同理可得222222cbazyxzbx（2）cbazyxcz222222（3）从而有2222222222222444cbazyxczbyax，第8页由此得222222222222241cbazyxcbazyx由原方程组可知x，y，z中至多只有一个为零，所以0222zyx，于是有41222222cbazyx由（1），（2），（3）可得2ax，2by，2cz例4已知方程组0990222yxmmyx有唯一的解，求参数m的值。解由02mmyx可解得2mmxx，以此代入09922yx，可消去x，得未知元y的二次方程054229222mmymmmy（1）1如果092m，那么im3，对于m的每一个值，（1）式是一次方程，且022mm由05422022mmymmmmyx可得唯一解。2如果（1）是二次方程，且有二重根，那么0364554922222mmmmmm，从而有45m综上所述，跟原方程组有唯一的解时im3，或im3，或45m如果在方程组内至少有一个方程是初等超越方程，那么这个方程组便称为初等超越方程（简称超越方程组）。超越方程组没有一般化的用初等运算求解的步骤，但对于某些特殊类型的超越方程组，则可按一定的方法求解，而这种方法的选择是取决于给出的方程组的某些特殊性质的。例5解方程组第9页xxxxyzzyx422162.0,0zy解在方程组16zyx（1）xxyz2（2）xx422（3）中，根据方程（2）和0,0zy的条件，可知0x满足方程（2）。当0x时，由方程（3）可知1z，从而由方程(1)可得15y。经检验，可知1z15y0x111，，是原方程组的解。当0x时，由方程（2）可得;2yz由方程（3）可得1222xx从而有12xz，于是，,21zx将z与x的表达式分别代入方程（1），得033232yy从而有01133yy因为,0y所以，0113y，于是03y，即3y，相应地，,421,92zxyz经检验，可知9,3,4222zyx是原方程组的解例6解方程组1yxyxyxyx解在方程组,yxyxyx（1）第10页1yx（2）中，由方程（2）可得,21xy以此代入方程（1），得方程21212121xxxxxx（3）因为,0x所以方程（3）的两端总取正值。以方程（3）的右端的表达式除等式（3）的两端的，得1212123xxx显然，1x是这个方程的解，从而有方程（2）得1y，于是11yx是原方程组的解。当0212321xx时，由此可得32391,31xx从而由方程（2）得.33y经检验，可知333,91yx是原方程组的解。有以上两例可以看出，解超越方程组的基本途径是将问题归结为代数方程组的求解。