初三自主招生教学案24几种函数的基础概念

第1页函数的基本概念知识梳理:一、函数的概念在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数。二、一次函数把函数)0(kbkxy称为一次函数，其中自变量x的取值范围是任意实数。若0b，函数)0(kkxy为正比例函数。一次函数的图像是一条经过点),0(b和)0,(kb的直线。1.基本公式（1）一次函数的解析式为bkxxf)(，其中bk,0为常数项。（2）一次函数bkxxf)(的图像是一条直线，其斜率为k。2.基本结论（1）增减性：当0k时，一次函数bkxy的函数值y随自变量x的增大而增大；当0k时，一次函数bkxy的函数值y随自变量x的增大而减小。（2）对称性：一次函数bkxy图像上的任意一点都是函数图像的对称中心；特别地正比例函数kxy的图像关于坐标原点O中心对称。（3）含有绝对值的一次函数的图像是由若干条线段和射线组成的折线，作出它的图像的步骤：先将绝对值去掉，分成几个不含有绝对值的一次函数。三、绝对值函数绝对值在初中数学中有了严格的定义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。用数学符号表示为：aa,a³0a,a0ìíî.同样绝对值还有几何性质：一个数的绝对值表示这个数在数轴上对应点到原点到距离。根据绝对值的几何与代数特征，对含有字母的绝对值我们仍然可以从代数和几何两个角度来处理。（1）分类讨论去绝对值；（2）利用绝对值的几何性质。如x,从一维几何角度看，表示数x在数轴上对应的点到原点的距离；从二维几何角度看，表示第一、第二象限角平分线即yx的图像。四、高斯函数x[]表示不超过x的最大整数，如3.7[]3,2[]2,3.4[]4等。函数yx[]叫做高斯函数。定义域为第2页全体实数R.有如下性质：（1）对任意的x，x[]都是整数；（2）对任意的x，都有x[]£xx[]1;（3）yx[]是不减函数，即当x1£x2时，必有x1[]£x2[]；（4）x[]中的x的整数部分可以“往外拿”，即等式xm[]x[]m，当且仅当m为整数时成立；（5）对任意实数x1，x2，都有x1[]x2[]³x1x2[]。例题精讲：例1已知O为坐标原点，一次函数bxy21的图像与x轴、y轴的交点分别为A、B，且1£AOBS，求实数b的取值范围。例2作出函数|1||3|xxy的图像。例3对于任意实数k，一次方程0)11()3()12(kykxk所表示的直线恒经过点D，求出点D的坐标。第3页例4如图1-2所示，直线133xy与x轴、y轴分别相交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，如果在第二象限内有一点)21,(aP满足条件：ABCABPSS，求实数a的值。例5解方程：x2x[]20第4页同步练习：1.求函数2|2||1|yx的图像所围成的图形的面积。2.已知直线4xy与y轴交点为M，直线63xy与y轴交点为N，直线4xy与63xy交点为P，求经过线段MN的中点Q与点P的一次函数解析式。3.已知一次函数)25()35(nxmy，分别求出nm、的值，使得满足下列条件：（1）y随x的增大而减小；（2）图像在第一、三、四象限；（3）图像在y轴上的截距小于1；（4）图像过)10,()3,0()0,1(a、、，求a的值。第5页4.如图1-3所示，直线434xy与x轴、y轴分别相交于M、N两点。（1）求M、N两点的坐标；（2）如果点A在线段ON上，将△NMA沿直线MA折叠，N点恰好落在x轴上的N’点，求直线MA对应的函数的解析式；（3）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，512为半径的圆与直线434xy相切，求点P的坐标。5.已知p是质数，q是正整数，是否存在这样的一次函数，使得其同时满足下列两个条件：（1）图像经过点（98,19）；（2）图像与x轴、y轴的交点分别为（p,0）、(0,q)。若存在，求出函数解析式；若不存在，说明理由。第6页6.如图1-4所示，△AOB为等边三角形，其中B（2,0），过点C（-2,0）的直线l与AO、AB分别相交于点D、E，若DOCADESS，求直线l的表达式。7.如图1-5所示，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在边CB的延长线上，且EB=10，点P在边DC边上运动，EP与AB的交点为F，设DP=x，△EFB与四边形AFPD的面积之和为y，写出y关于x的函数关系式。第7页8.已知k为正整数，直线1kkxy和直线kxky)1(以及x轴围成的三角形的面积为kS，计算：2012321SSSS的值。参考答案【例题部分】例1：答案：11££b.解析：【解】令0x，则by；令0y，则bx2，则122121£bbOBOASAOB，整理得，12£b，解得11££b。所以实数b的取值范围是11££b。例2：解析：【解】令03x，得3x；令01x，得1x。1和3将数轴分成三段，下面逐段讨论：（1）当1£x时，xxxy2413；（2）当31x时，213xxy；第8页（3）当3³x时，4213xxxy。所以îíì³£3,4231,21,24xxxxxy，其图像如图1-1所示。例3：答案：（2,3）.解析：【解】将方程0)11()3()12(kykxk变形得，0)113()12(yxkyx，根据多项式恒等的条件可得，îíì0113012yxyx,解得îíì32yx，所以点D的坐标为（2,3）。例4：答案：423a.解析：【解】令0x，得1y；令0y，得3x，所以)0,3(A、)1,0(B即2,2,1,3ABCSABOBOA所以2ABPS。4321pAOPyOAS；;2321;221OBOASaxOBSAOBpBOP由于AOPAOBBOPABPSSSS,所以243232a，解得423a。第9页例5：答案：x1或x2.解析：【解】因为x[]£xx[]1,又x22x[]。所以x22£xx22x1ìíî，即x2x2£0x2x10ìíî.解得，1£x152或152x£2。所以x[]可取－1.2.当x[]＝－1时，则原方程即为x210Þx1.当x[]＝2时，则原方程即为x240Þx2.综上，原方程的解为x1或x2.点评：高斯函数也叫取整函数，x[]表示不大于x的最大整数，通过不等式x[]£xx[]1消元，转化为一元方程求解。【同步练习部分】练习1：答案：8.解析：【解】：当2,1³³yx时，1xy；当21³yx，时，5xy；当2,1³yx时，1xy；当2,1yx时，3-xy所以函数221yx的图像所围成的图形是一个边长为22的正方形，所求图形的面积为8．练习2：答案：1xy.解析：【解】：直线4xy与y轴交点为)4,0(M，直线63xy与y轴交点为)60(，N，线段MN的中点)10(，Q．由îíì634xyxy，得P点坐标为），（23-25设经过点Q与点P的一次函数解析式为)0(kbkxy，则îíì23251bkbÞîíì11bk，即所求一次函数解析式为1xy．练习3：解析：【解】：（1）035m，解得53m，所以当53m时，y随x的增大而减小；第10页（2）035m且-5-20n（），解得53m且25n，当53m且25n时，图像在第一、三、四象限；（3）12-5-）（n，035m，即3n且53m，图像在y轴上的截距小于1；（4）图像过）（0,1-和）（3,0两点，îíì3)25(0)25(35-nnm）（Þîíì40nm所求函数解析式为33xy，当函数33xy的图像过点）（10,a时，解得37a．练习4：解析：【解】：（1）)03(，M)4,0(N；（2）2321xy（3）第一种情况：当点1P在y轴上且在点N下方时，1P的坐标为）（0,0；第二种情况：当点2P在x轴上且在点M左侧时，2P的坐标为）（0,0；第三种情况：当点3P在x轴上且在点M右侧时，3P的坐标为）（0,6；第四种情况：当点4P在y轴上且在点N上方时，4P的坐标为）（8,0；综上所述：点P的坐标为）（0,0、）（0,6、）（8,0．练习5：解析：【解】：假设存在满足条件的一次函数设其解析式为)0()(kbkxxf，则由题意得：îíìbqkbpbk1998由于q是正整数，所以b是正整数，所以k是负整数．由1998bk得，kb9819，代入kbp得，kp1998因为)19(119（1）当1k时，117p不是质数，舍去；（2）当19k时，99p不是质数，舍去；综上（1）、（2）可得满足条件的一次函数不存在．第11页练习6：解析：【解】：3ÞCBEAOBDOCADESSSSÞ23Ey直线AB的方程：323xy，点E在直线AB上，所以)23,23(E点)02(，C,直线l经过点E、C,所以直线l的表达式为73273xy．练习7：解析：【解】：xDP，则xPC10，)10(21xFB）（100x由题意得：10])10(2110[21)10(211021xxxy505x所以505xy，其中100x．练习8：解析：【解】：联立方程得方程组îíìkxkykkxy)1(1，解得îíì11yx，所以两条直线的交点为），（1-1-，直线1kkxy、kxky)1(与x轴的交点坐标分别为）（0,1kk、）（0,1kk，则11121)1(12111121kkkkkkkkSk）（11121kk所以201221SSS)201312012141313121211(212013100620131121）（.