初三自主招生教学案25二次函数

第1页二次函数知识梳理：一、定义一般地，把形如)0(2acbxaxy的函数称为二次函数，其中自变量x的取值范围是任意实数，它的图像是一条抛物线。二、基本公式（1）二次函数)0(2acbxaxy的图像的顶点坐标为)44,2(2abacab；（2）二次函数的解析式的顶点式为：)0(44)2(22aabacabxay；（3）二次函数的解析式的交点式为：)0)()((21axxxxay。三、基本结论（1）二次函数)0(2acbxaxy的图像的对称性：关于直线abx2成轴对称图形。（2）二次函数)0(2acbxaxy的增减性：①当0a时，在区间]2,(ab上是减函数，在区间),2(ab上是增函数；②当0a时，在区间]2,(ab上是增函数，在区间),2(ab上是减函数。（3）二次函数)0(2acbxaxy的最大、最小值：①当0a时，abx2，abacy442min；②当0a时，abx2，abacy442max。（4）二次函数)0(2acbxaxy的图像与y轴的交点坐标为),0(c。（5）二次函数)0(2acbxaxy的图像与x轴的交点情形：①当0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；②当0时，抛物线与x轴有一个交点；③当0时，抛物线与x轴没有交点。例题精讲：例1已知当10x时，二次函数243yxmx的函数值恒大于1，求实数m的取值范围。第2页例2已知二次函数2()2fxxbxc满足下列两个条件：（1）当23x时，它是增函数，当32x时，它是减函数；（2）若方程()0fx的两根为、12xx，且12||2xx，求二次函数的表达式。例3已知抛物线25(21)24yxaxa与x轴只有一个公共点，（1）求实数a的值；（2）求代数式186323aa的值。例4抛物线2(1)1yxkxk与x轴的两个交点分别为A、B，顶点为C，求△ABC面积的最小值。第3页例5已知关于x的方程x2(2m3)xm40的两实根为a,b,若（1）两根都为正数；（2）两根异号；（3）两根都大于1；（4）一根不大于1，另一根不小鱼1.求实数m的取值范围。例6关于x的方程x2axa10在1£x£2有解，求实数a的取值范围。同步练习：1、已知抛物线231yxx与直线ykx不想交，求实数k的取值范围。第4页2、二次函数244yxxm的图像与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，求二次函数的解析式。3、已知£xa，求二次函数2()2fxxx的最大值。4、是否存在二次函数，使其同时满足下列两个条件：（1）(1)0f；（2）对一切实数x，均有££21()(1)2xfxx成立。若存在，求出二次函数的解析式；若不存在，说明理由。第5页5、二次函数()fx满足条件：(1)(1)fxfx且max()15fx，方程()0fx的两个根的立方和为17，求()fx的解析式。6、已知二次函数2()(0)fxaxbxca满足条件：(0)2f，(1)1f，其图像在x轴上截得的线段长为22，求二次函数的解析式。参考答案【例题部分】例1：解析：【解】：二次函数243yxmx的对称轴是直线2xm，（1）若£21m时，即£12m，当1x时，143441,ymm解得：34m，££3142m，（2）若120m时，即102m，当2xm时，只需2121614my即可第6页解得：2222m，102m，（3）若20m时，即0m当0x时，只需31y即可，所以0m；综上（1）（2）（3）可得：实数m的取值范围是：34m.例2：解析：【解】：由于20及条件（1），所以对称轴342bx，解得6b；由条件（2），令2()260fxxxc93680......2cc（1）x1x23x1ix2c2ìíïîï代入2121212||+-4=2xxxxxx所以9-2c=4，解得52c，满足结论（1），所以25()262fxxx。例3：解析：【解】：（1）由题设条件得，25(21)204xaxa，化简得210aa，解得121515,22aa；（2）由（1）得210aa，则422(1)2132aaaaa同理82113aa，1825841597aa，a61a61a4ia21(3a2)(a1)18a5再由210aa得264(1)0aa，变形为26464651aa第7页即(85)(813)1aa，所以6113885aaa所以18632325841597323(138)5796aaaa。例4：解析：【解】：设A、B两点的横坐标分别为1x、2x，由题意得：22121212()()425(1)ABxxxxxxkk2125(2))(,24kkkC由（1）、（2）可得，SABC12ABiyc12k22k5ik22k5418(k22k5)318(k1)24éëùû318431（当且仅当1k时等号成立）所以当1k时，ABC面积的最小值为1.例5：解析：【解】：（1）由题意得，4m216m2502m30m40ìíïîï，解得m4。（2）由题意得，4m216m250m40ìíî，即m40，解得m4。（3）由题意得，0a1b1ìíïîï，即0a1(b1)0(a1)(b1)0ìíïîï,也即4m216m2502m320m4(2m3)10ìíïîï，实数m不存在。(4)由题意得，0a1b£1ìíïîï，即0(a1)(b1)£0ìíî，也即4m216m250m4(2m3)1£0ìíî，解得m0.点评：一元二次方程得根分布情况，一种方法：利用根与系数得关系和根的判别式，另一种方法：利用二次函数的图像，从开口方向、根的判别式、对称轴、特殊点值点符号四个方面来研究。第8页例6：解析：【解】：设f(x)x2axa1，则方程x2axa10在1,2[]有解即为函数f(x)的图像在1£x£2至少有一个交点。（1）若函数f(x)的图像在1£x£2只有一个交点，则f(1)f(2)£0或01£a2£2ìíïîï，即0(a3)£0或a2，所以a2。（2）若函数f(x)的图像在1£x£2有两个不同的交点，则01£a2£2f(1)0f(2)0ìíïïîïï，即a24a402£a£4003a0ìíïïîïï，解得2a£3。综上所述，实数a的取值范围是2£a£3。【同步练习部分】练习1：解析：【解】：ìíî222331310(3)4051.yxxyykxxkxkk，消去得，，解得练习2：解析：【解】：214412yxxmm二次函数图像的顶点为，2212440,16-160,144yxxmmmyxxmxxx令则解得设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标分别为、，则第9页ìïíïî12121221||1·4|-1|134510,11412xxxxmmxxxmmmmmm由于二次函数的图像与轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则有，化简得解得舍去或21444yxx所求的二次函数的解析式为。练习3：解析：【解】：22()2111fxxxxx，得对称轴为ìíîmax2maxmax211()(1)121()()21,112()2,1afxfafxfaaaafxaaa当时，当时，综合可得，练习4：解析：【解】：2()0fxaxbxca假设存在满足条件的二次函数，其解析式为第10页££££ìïíïî222201()1*1,21111,2101122120221201210102120,*1abcbacxxfxxxabcabcbacaxacxcxaxacxcaxxxaaac由题意得：，即由于对一切实数，均满足成立，不妨设则所以即于是对于一切实数都成立由，若，则变为，此时不满足对于一切都成立。所以于是变为ìïï£íï£ïî£££22222240441212021021011042111()424xacacacacacacacacacacbfxxx整理得，和，即，只有成立，所以，，所以存在这样的二次函数解析式为：。练习5：解析：【解】：(1)(1)()1,fxfxfxx由于得函数的图像的对称轴为直线于是ìïíïî222121212222121212122()11502150441502015·13176()6129fxaxaaxaxaxxaaaxxaxxaxxxxxxxxafxxx根据题中条件，设令的两个根为、，则，解得由，解得所求的二次函数解析式为练习6：解析：【解】：由题设条件得ìíî21cabc，所以2()(3)2fxaxax第11页设2(3)20(0)axaxa则2(3)80aa，即2290aa，解得aRìïïíïïî121232axxaxxa，则éùëû2123822axxaa，整理得27290aa，解得1a或97a所以二次函数的解析式为2()42fxxx或2912()277fxxx。