第9讲不等式(组)及其应用1.不等式的基本性质性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号方向不改变;如果a>b,那么a±cb±c;性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号方向不改变;如果a>b,c>0,那么acbc,acbc;性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变;如果a>b,c<0,那么acbc,acbc.2.一元一次不等式(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,且不等式左右两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式.(2)解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变).(3)解集在数轴上表示:①画数轴②定边界③定方向x>ax<ax≥ax≤a3.一元一次不等式组(1)定义:一般地,关于同一个未知数的几个不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组.(2)一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.注意:不等式的解可以是一个或多个数值,而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合.(3)解一元一次不等式组的步骤:①分别解每个一元一次不等式;②在数轴上表示各不等式的解集;③确定各不等式解集的公共部分;④得到不等式组的解集;(4)几种常见的不等式组的解集(ab,且a、b为常数):不等式组(ab)图示解集口诀x≥ax≥bx≥a同大取大x≤ax≤bx≤b同小取小x≥bx≤aa≤x≤b大小、小大中间找x≤bx≥a无解小小、大大找不到4.一元一次不等式的应用(1)列不等式解应用题的基本步骤:①审题;②设元;③找出能够包含未知数的不等量关系;④列出不等式;⑤解不等式;⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值;⑦写出答案.(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系,如最大利润、最优方案等,一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(>)”、“不大于(≤)”等词,要正确理解这些词的含义.考点1:解一元一次不等式【例题1】(2018广西桂林)(6.00分)解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.【解析】:去分母,得:5x﹣1<3x+3,移项,得:5x﹣3x<3+1,合并同类项,得:2x<4,系数化为1,得:x<2,将不等式的解集表示在数轴上如下:归纳:1.本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1;2.将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上,体现数形结合的思想;3.在画图时,先确定边界点,解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空心圆圈,再确定方向(大向右,小向左).考点2:解一元一次不等式组【例题2】(2018·自贡)解不等式组3x-5≤1,①13-x34x,②并在数轴上表示其解集.【解答】解:解不等式①,得x≤2.解不等式②,得x>1.∴不等式组的解集为1<x≤2.将其表示在数轴上,如图所示.归纳:在数轴上表示解集时,大于号向右,小于号向左,有等号的用实心圆点,无等号的用空心圆圈.(1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用,即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数,不等号要改变方向;(2)求不等式组的整数解时,“实心”点所表示的实数如果是整数,则该点也是所求整数解,如果不是整数,要从离该点最近的整数点开始算起;“空心”点所在的实数如果是整数,则该点不是整数解,如果不是整数,则要从解集中离该点最近的整数点开始算起.考点3:一元一次不等式的实际应用【例题3】(2019湖南益阳10分)为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾•稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价﹣成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价;(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为25元/千克,该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?【分析】(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,由题意列出方程组,解方程组即可;(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意列出不等式,就不等式即可.【解答】解:(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,由题意得:,解得:;答:去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元;(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意得:20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000,解得:z≥640;答:稻谷的亩产量至少会达到640千克.归纳:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用;根据题意列出方程组或不等式是解题的关键.归纳总结:1.利用不等式(组)解决实际问题,关键是要抓住题目中表示不等关系的语句,列出不等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定.2.在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为防止漏解和便于比较,我们常用分类讨论的思想方法,对方案的优劣进行探讨.考点4:一元一次不等式与其它知识的综合应用【例题4】(2018·河北中考预测)如图,在数轴上有A,B,C,D四点,点A对应的数为a,点B对应的数为3,点D对应的数为t,若CD=4,且在数轴上移动.(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧,求a的取值范围,并把解集表示在数轴上;(2)当t为何值,且是整数时,点B落在C,D两点之间.【解析】:(1)∵AB=3-a,2AB表示的数始终位于点A的左侧,∴2(3-a)a,解得a2.∵a3,∴a的取值范围为2a3.在数轴上表示如图.(2)∵CD=4,且当点B落在C,D两点之间,∴t3,t-43.解得3t7.∵t是整数,∴t可以取4,5或6.一、选择题:1.(2019甘肃省陇南市)(3分)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是()A.x≤3B.x≤﹣3C.x≥3D.x≥﹣3【答案】A【解答】解:去括号,得2x+9≥3x+6,移项,合并得﹣x≥﹣3系数化为1,得x≤3;故选:A.2.(2018•湖北荆门•3分)已知关于x的不等式3x﹣m+1>0的最小整数解为2,则实数m的取值范围是()A.4≤m<7B.4<m<7C.4≤m≤7D.4<m≤7【答案】A【解答】解:解不等式3x﹣m+1>0,得:x>,∵不等式有最小整数解2,∴1≤<2,解得:4≤m<7,故选:A.3.(2018•山东滨州•3分)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:解不等式x+1≥3,得:x≥2,解不等式﹣2x﹣6>﹣4,得:x<﹣1,将两不等式解集表示在数轴上如下:故选:B.4.(2019•湖南怀化•4分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只,则多出17只母羊,若每户发放母羊7只,则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共()只.A.55B.72C.83D.89【答案】C【解答】解:设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只,由题意知,解得:<x<12,∵x为整数,∴x=11,则这批种羊共有11+5×11+17=83(只),故选:C.5.2018·台湾·分)如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明,妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷,她再将卡片以每张15元的价格贩售.若利润等于收入扣掉成本,且成本只考虑设计费与印刷费,则她至少需印多少张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成?()A.112B.121C.134D.143【答案】C【解答】解:设妮娜需印x张卡片,根据题意得:15x﹣1000﹣5x>0.2(1000+5x),解得:x>133,∵x为整数,∴x≥134.答:妮娜至少需印134张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成.故选:C.二、填空题:6.(2018•江苏扬州•3分)不等式组的解集为.【答案】﹣3<x≤.【解答】解:解不等式3x+1≥5x,得:x≤,解不等式>﹣2,得:x>﹣3,则不等式组的解集为﹣3<x≤,故答案为:﹣3<x≤.7.(2019•贵州省铜仁市•4分)如果不等式组的解集是x<a﹣4,则a的取值范围是.【答案】a≥﹣3.【解答】解:解这个不等式组为x<a﹣4,则3a+2≥a﹣4,解这个不等式得a≥﹣38.(2017山东烟台)运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作,若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是.【答案】:x<8.【解答】解:依题意得:3x﹣6<18,解得x<8.故答案是:x<8.三、解答题:9.解不等式组3(x+1)x-1-23x+3≥4,并求出其最小整数解.解:令:3(x+1)x-1-23x+3≥4,解不等式①得x-2,解不等式②得-23x≥1,不等式两边同乘以-32得x≤-32.∴原不等式组的解集为-2x≤-32.∴原不等式组的最小整数解是-110.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材.若甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工.(1)问乙单独整理多少分钟完工?(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?【解析】:(1)设乙单独整理x分钟完工,根据题意,得2040+20+20x=1.解得x=80.经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.答:乙单独整理80分钟完工.(2)设甲整理y分钟,根据题意,得3080+y40≥1.解得y≥25.答:甲至少整理25分钟才能完工.11.(2018·唐山丰润区一模)小明解不等式1+x2-2x+13≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.解:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤1.①去括号,得3+3x-4x+1≤1.②移项,得3x-4x≤1-3-1.③合并同类项,得-x≤-3.④两边都除以-1,得x≤3.⑤【解析】:错误的是①②⑤,正确解答过程如下:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6.去括号,得3+3x-4x-2≤6.移项,得3x-4x≤6-3+2.合并同类项,得-x≤5.两边都除以-1,得x≥-5.12.(2019•四川省凉山州•10分)根据有理数乘法(除法)法则可知:①若ab>0(或>0),则或;②若ab<0(或<0),则或.根据上述知识,求不等式(x﹣2)(x+3)>0的解集解:原不等式可化为:(1)或(2).由(1)得,x>2,由(2)得,x<﹣3,∴原不等式的解集为:x<﹣3或x>2.请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题:(1)不等式x2﹣2x﹣3<0的解集为﹣1<x<3.(2)求不等式<0的解集(要求写出解答过程)【分析】(1)根据有理数乘法运算法则可得不等式组,仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组,分别求解可得.(2)根据有理数除法运算法则可得不等式组,仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组,分别求解可得.【解答】解:(1)原不等式可化为:①或②.由①得,空集,由②得,﹣1<x<3,∴原不等式的解集为:﹣1<x<3,故答案为:﹣1<x<3.(2)由<0知①或②,解不等式组①,得:x>1;解不等式组②,得:x<﹣4;所以不等式<0的解集为x>1或x<﹣4.13.(2018·郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件