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第9讲不等式(组)及其应用1．不等式的基本性质性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不改变；如果a＞b，那么a±cb±c；性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不改变；如果a＞b，c＞0，那么acbc，acbc；性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变；如果a＞b，c＜0，那么acbc，acbc.2．一元一次不等式(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且不等式左右两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．(2)解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变)．(3)解集在数轴上表示：①画数轴②定边界③定方向x＞ax＜ax≥ax≤a3.一元一次不等式组(1)定义：一般地，关于同一个未知数的几个不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．(2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．注意：不等式的解可以是一个或多个数值，而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合．(3)解一元一次不等式组的步骤：①分别解每个一元一次不等式；②在数轴上表示各不等式的解集；③确定各不等式解集的公共部分；④得到不等式组的解集；(4)几种常见的不等式组的解集(ab，且a、b为常数)：不等式组(ab)图示解集口诀x≥ax≥bx≥a同大取大x≤ax≤bx≤b同小取小x≥bx≤aa≤x≤b大小、小大中间找x≤bx≥a无解小小、大大找不到4.一元一次不等式的应用(1)列不等式解应用题的基本步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的不等量关系；④列出不等式；⑤解不等式；⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；⑦写出答案．(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(＞)”、“不大于(≤)”等词，要正确理解这些词的含义．考点1：解一元一次不等式【例题1】（2018广西桂林）（6.00分）解不等式＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．【解析】：去分母，得：5x﹣1＜3x+3，移项，得：5x﹣3x＜3+1，合并同类项，得：2x＜4，系数化为1，得：x＜2，将不等式的解集表示在数轴上如下：归纳：1.本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；2．将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上，体现数形结合的思想；3．在画图时，先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈，再确定方向(大向右，小向左)．考点2：解一元一次不等式组【例题2】(2018·自贡)解不等式组3x－5≤1，①13－x34x，②并在数轴上表示其解集．【解答】解：解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x＞1.∴不等式组的解集为1＜x≤2.将其表示在数轴上，如图所示．归纳：在数轴上表示解集时，大于号向右，小于号向左，有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈．(1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开始算起．考点3：一元一次不等式的实际应用【例题3】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，解得：z≥640；答：稻谷的亩产量至少会达到640千克．归纳：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．归纳总结：1.利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．考点4：一元一次不等式与其它知识的综合应用【例题4】(2018·河北中考预测)如图，在数轴上有A，B，C，D四点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，点D对应的数为t，若CD＝4，且在数轴上移动．(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧，求a的取值范围，并把解集表示在数轴上；(2)当t为何值，且是整数时，点B落在C，D两点之间．【解析】：(1)∵AB＝3－a，2AB表示的数始终位于点A的左侧，∴2(3－a)a，解得a2.∵a3，∴a的取值范围为2a3.在数轴上表示如图．(2)∵CD＝4，且当点B落在C，D两点之间，∴t3，t－43.解得3t7.∵t是整数，∴t可以取4，5或6.一、选择题：1.(2019甘肃省陇南市)（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3【答案】A【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．2.（2018•湖北荆门•3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．4≤m＜7B．4＜m＜7C．4≤m≤7D．4＜m≤7【答案】A【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，∵不等式有最小整数解2，∴1≤＜2，解得：4≤m＜7，故选：A．3.（2018•山东滨州•3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：B．4.（2019•湖南怀化•4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55B．72C．83D．89【答案】C【解答】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，解得：＜x＜12，∵x为整数，∴x＝11，则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），故选：C．5.2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（）A．112B．121C．134D．143【答案】C【解答】解：设妮娜需印x张卡片，根据题意得：15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），解得：x＞133，∵x为整数，∴x≥134．答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．故选：C．二、填空题：6.（2018•江苏扬州•3分）不等式组的解集为．【答案】﹣3＜x≤．【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，解不等式＞﹣2，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤，故答案为：﹣3＜x≤．7.（2019•贵州省铜仁市•4分）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是．【答案】a≥﹣3．【解答】解：解这个不等式组为x＜a﹣4，则3a+2≥a﹣4，解这个不等式得a≥﹣38.（2017山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是．【答案】：x＜8．【解答】解：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．故答案是：x＜8．三、解答题：9.解不等式组3（x＋1）x－1－23x＋3≥4，并求出其最小整数解．解：令：3（x＋1）x－1－23x＋3≥4，解不等式①得x－2，解不等式②得－23x≥1，不等式两边同乘以－32得x≤－32.∴原不等式组的解集为－2x≤－32.∴原不等式组的最小整数解是－110.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．(1)问乙单独整理多少分钟完工？(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【解析】：(1)设乙单独整理x分钟完工，根据题意，得2040＋20＋20x＝1.解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．答：乙单独整理80分钟完工．(2)设甲整理y分钟，根据题意，得3080＋y40≥1.解得y≥25.答：甲至少整理25分钟才能完工.11.(2018·唐山丰润区一模)小明解不等式1＋x2－2x＋13≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.①去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.②移项，得3x－4x≤1－3－1.③合并同类项，得－x≤－3.④两边都除以－1，得x≤3.⑤【解析】：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6.去括号，得3＋3x－4x－2≤6.移项，得3x－4x≤6－3＋2.合并同类项，得－x≤5.两边都除以－1，得x≥－5.12.（2019•四川省凉山州•10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x＜3．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．由①得，空集，由②得，﹣1＜x＜3，∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．（2）由＜0知①或②，解不等式组①，得：x＞1；解不等式组②，得：x＜﹣4；所以不等式＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．13.(2018·郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件