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第15讲三角形及其基本性质1．三角形的分类(1)按边分类不等边三角形等腰三角形底边与腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)按角分类直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2．三角形的基本性质(1)内角和定理：三角形内角和为180°；(2)内外角关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角_任何一个与它不相邻的内角．(3)三边关系：三角形的任意两边之和___第三边；任意两边之差_第三边；3．三角形中的重要线段(1)角平分线：①如图，线段AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线．②内心：三角形三条角平分线的交点．它到各边的距离相等．(2)中线：①如图，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的一条中线，②重心：三角形三条中线的交点．(3)高：①如图，AF⊥BC，则线段AF是△ABC的高线．②垂心：三条高线的交点．(4)中位线：①连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线．②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.(5)垂直平分线：①如图，点D是BC的中点，DE⊥BC，则DE是△ABC的一条垂直平分线．②外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．4．命题(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题．命题分为题设和结论两部分．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．(2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.考点1：三角形三边关系【例题1】（2019浙江丽水3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．8考点2：三角形重要线段的计算与应用【例题2】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线．(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE＝12∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，则错误的说法是③；(2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE；(3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DHB；(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的长．归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为1∶3.考点3：三角形内角和与外角性质的综合应用【例题3】如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．（2）如图2：若写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若设∠E＝m°,直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝(不写过程)一、选择题：1.（2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°2.（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm3.（2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°4.（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°5.（2019•江苏泰州•3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点DB．点EC．点FD．点G二、填空题：6.（2018湖南郴州）（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．7.若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为．8.（2018•白银）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=．9.（2018·辽宁省抚顺市）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=．三、解答题：10.如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求边BC上的高．11.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．12.如图，D是△ABC边BA延长上一点．(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？②若AC＝6，则△ABC的周长可能是()A．8B．10C．12D．14(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝72°；②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝43∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．13.（2019•河北省•9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．14.如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．图1图2图3(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；(2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，则∠DCE＝α－β2(用含α，β的代数式表示)；(3)若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由；(4)如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E.且α－β＝30°，则∠DCE＝75°．(直接写出结果)