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第15讲三角形及其基本性质【考点梳理】1．三角形的分类(1)按边分类不等边三角形等腰三角形底边与腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)按角分类直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2．三角形的基本性质(1)内角和定理：三角形内角和为180°；(2)内外角关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角_大于_任何一个与它不相邻的内角．(3)三边关系：三角形的任意两边之和_大于__第三边；任意两边之差_小于第三边；3．三角形中的重要线段(1)角平分线：①如图，线段AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线．②内心：三角形三条角平分线的交点．它到各边的距离相等．(2)中线：①如图，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的一条中线，②重心：三角形三条中线的交点．(3)高：①如图，AF⊥BC，则线段AF是△ABC的高线．②垂心：三条高线的交点．(4)中位线：①连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线．②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.(5)垂直平分线：①如图，点D是BC的中点，DE⊥BC，则DE是△ABC的一条垂直平分线．②外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．4．命题(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题．命题分为题设和结论两部分．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．(2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.【高频考点】考点1：三角形三边关系【例题1】（2019浙江丽水3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．8【答案】C【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：C．归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的判定标准，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．考点2：三角形重要线段的计算与应用【例题2】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线．(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE＝12∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，则错误的说法是③；(2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE；(3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DHB；(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的长．【分析】(1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由∠A，∠ABC可求∠ACB，由CE是角平分线，可求得∠ACE，从而可利用∠ACE和∠ACD作差可解决问题；(3)由四边形内角和是360°，可求得∠DHG，由互补可求得∠DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位线定理求AC.【解答】解：(2)∵∠A＝72°，∠ABC＝28°，∴∠ACB＝80°.∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE＝40°.∵∠A＝72°，CD是△ABC的高，∴∠ACD＝18°.∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝22°.(3)∵BG是△ABC的高，CD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠AGH＝90°.∵∠A＋∠ADC＋∠DHG＋∠AGH＝360°，∴∠DHG＝108°.∴∠DHB＝180°－∠DHG＝72°.(4)∵∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，∴AC＝12.∵FM是△ABC的中位线，∴FM＝12AC＝6.归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为1∶3.考点3：三角形内角和与外角性质的综合应用【例题3】如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．（2）如图2：若写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若设∠E＝m°,直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝(不写过程)【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可得；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得∠M=.【解析】（1）作EG∥AB，FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，∴∠ABE+∠CDE=280°，∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF=140°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；（2）∵∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°；（3）由（2）的结论可得，2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，解得：∠M=，故答案为：.【自我检测】一、选择题：1.（2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【答案】C【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．2.（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm【答案】B【解答】A、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B．3.（2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°．故选：C．4.（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【答案】C【解答】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．5.（2019•江苏泰州•3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点DB．点EC．点FD．点G【答案】A【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，∴点D是△ABC重心．故选：A．二、填空题：6.（2018湖南郴州）（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．【答案】720°【解答】这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．7.若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为15，20，25．【答案】15，20，25【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．∵其周长为60cm，∴3x+4x+5x=60，解得x=5，∴三角形的三边长分别是15，20，25，故答案为：15，20，258.（2018•白银）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=．【答案】7【解答】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴6＜c＜8，又∵c为奇数，∴c=7，故答案是：7．9.（2018·辽宁省抚顺市）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=40°．【答案】40°．【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°﹣（∠6+∠7）=40°．故答案为：40°．三、解答题：10.如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求边BC上的高．【解析】：(1)∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°.∵在Rt△DBC中，BC＝4，CD＝5，∴DB＝CD2－BC2＝52－42＝3.(2)过A作AE⊥BC交线段CB延长线于点E，则AE∥DB.∵点D为AC的中点，∴DB为△ACE的中位线．∴AE＝2DB＝6.∴边BC上的高为6.11.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度数．【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=21∠BAC=30°．（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．12.如图，D是△ABC边BA延长上一点．(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？②若AC＝6，则△ABC的周长可能是()A．8B．10C．12D．14(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝72°；②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝43∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．【点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)①可利用三角形内角和为180°，通过方程(组)来求解；②设每份为x，利用三角形内角和，求出∠CAB，再利用互补求∠CAD；③需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解．【解答】解：(1)①由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，AC－BC＜AB＜BC＋AC，所以3＜A