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第16讲全等三角形【考点梳理】全等三角形(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应线段(中线，高)相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．(2)判定：①两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；②两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；④三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).【高频考点】考点1：全等三角形的性质应用【例题1】（2018•咸宁）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．考点2：全等三角形的判定【例题2】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．【解析】：(1)AD＝DC＋AB.证明：延长AE交DC的延长线于点F.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F.∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠EAD.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F.∴∠EAD＝∠F.∴AD＝DF.∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB.(2)AB＝AC＋CF.证明：延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC.∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G.∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.∴AB＝CG＝AF＋CF.考点3：全等三角形的综合应用【例题3】如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接AP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α.(1)求证：△APM≌△BPN；(2)当MN＝2BN时，求α的度数；(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．【解析】：(1)证明：∵P为AB中点，∴AP＝BP.在△APM和△BPN中，∠A＝∠B，AP＝BP，∠APM＝∠BPN，∴△APM≌△BPN(ASA)．(2)由(1)的结论可知：PM＝PN，∴2PN＝MN.又∵MN＝2BN，∴PN＝BN.∴α＝∠B＝50°.(3)40°α90°.【自我检测】一、选择题：1.如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（）A．AF∥BEB．∠ACF=∠DBEC．AB=CDD．CF∥DE【答案】B【解答】解：∵△ACF≌△BDE，∴∠A=∠EBD，∴AF∥BE，A正确，不符合题意；∴∠ACF=∠BDE，B错误，符合题意；∴AC=BD，∴AB=CD，C正确，不符合题意；∴∠D=∠FCA，∴CF∥DE，D正确，不符合题意；故选：B．2.（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DC【答案】C【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．3.下列命题：①两个周长相等的三角形是全等三角形；②两个周长相等的直角三角形是全等三角形；③两个周长相等的等腰三角形是全等三角形；④两个周长相等的等边三角形是全等三角形．其中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】:A.周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题;B.周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题;C.周长相等的等腰三角形对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题;D.两个周长相等的等边三角形的对应角一定相等,都是60°,对应边也一定相等,真命题.故选D.4.（2018·台湾·分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115B．120C．125D．130【答案】C【解答】解：∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．5.（2019•山东青岛•3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，在△DAB与△DEB中，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．二、填空题：6.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为cm．【答案】6【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，又PD=6cm，∴PE=PD=6cm．故填6．7.（2019•山东威海•3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝3．【答案】3【解答】解：如图，延长BC、AD相交于点F，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°，∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，∴△EBC≌△EFC（ASA），∴BC＝CF，∵AB∥DC，∴AD＝DF，∴DC=3．故答案为：3．8.（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．【答案】AC=BC．【解答】解：添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC=BC．9.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为。【答案】3【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，∴S△PEM=S△PNF，∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，故为3个。三、解答题：10.(2018·陕西)如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.证明：∵AB∥CD，EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∠A＝∠D.∴∠BEC＝∠BFC，BE＝CF，∴∠AEG＝∠DFH.∵AB＝CD，∴AE＝DF.∴△AEG≌△DFH(ASA)，∴AG＝DH.11.（2019湖南益阳8分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°又∵∠D＝110°∴∠ACB＝∠D∵AB∥DE∴∠CAB＝∠E∴在△ABC和△EAD中∴△ABC≌△EAD（AAS）．12.（2018湖北荆州）（8.00分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．【分析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，∵DC∥MN∥AB，∴F为PG的中点，即PF=GF，由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，在△AFP和△AFG中，，∴△AFP≌△AFG（SAS）；（2）∵△AFP≌△AFG，∴AP=AG，∵AF⊥PG，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，∴△APG为等边三角形．13.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求∠ACE的度数；(3)求证：四边形ABFE是菱形．【解析】：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC＝∠DAE＝40°，∠BAD＝∠CAE＝100°，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE.在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．(2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝12(180°－∠CAE)＝12×(180°－100°)