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第19讲平行四边形(含多边形)1．平行四边形(1)性质：①平行四边形两组对边分别__相等__；②平行四边形对角相等，邻角__互补__；③平行四边形对角线互相__平分__；④平行四边形是__中心__对称图形．(2)判定方法：①定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．2．多边形及其性质(1)多边形：①内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°；②外角和定理：n边形的外角和为360°；③对角线：过n边形的一个顶点可引n－3条对角线，n边形共有n（n－3）2条对角线．(2)正多边形：①正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等；②正n边形的每一个内角为（n－2）180°n(n≥3)，每一个外角为360°n；③对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形有_n__条对称轴；当n是奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形.考点1：多边形内角和计算【例题1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由．【解析】：(1)设这个外角的度数是x°.由题意，得(5－2)×180－(180－x)＋x＝600.解得x＝120.故这个外角的度数是120°.(2)存在．设这个多边形的边数为n，这个外角的度数是x°.由题意，得(n－2)×180－(180－x)＋x＝600.整理，得x＝570－90n.∵0＜x＜180，即0＜570－90n＜180.解得413n613.又∵n为正整数，∴n＝5或n＝6.当n＝6时，x＝30.故这个多边形的边数是6，这个外角的度数为30°.归纳：本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为180°及凸多边形的一个内角是小于平角的角．考点2：平行四边形的性质与判定【例题2】(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．【解析】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C.∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.∵BE＝BF，∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE.又∵EG∥BC，即FE∥BD，∴四边形BDEF为平行四边形；(2)解：∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，∴BF＝BE＝22BD＝2.过点F作FM⊥BD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示．则△BFM是等腰直角三角形．∴FM＝BM＝22BF＝1，∴DM＝3.在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝12＋32＝10.即D，F两点间的距离为10.考点3：关于平行四边形的综合探究问题【例题3】(2018四川省眉山市15分)如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.【答案】（1）证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵M为BC中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∴∠ABC+∠MAB=90°,∵AC⊥BD，在Rt△CBE中，∴∠ACB+∠EBC=90°,∴∠MAB=∠EBC,又∵MB=MN，AM⊥BC，∴△NBM为等腰直角三角形，∴∠MBN=∠MNB=45°,∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,∵∠MAB=∠EBC,∴∠NBE=∠ABN,∴BN平分∠ABE.（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵∴△ABN≌△DBN中（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，∵BD=1，AB=AC=BD，∴AB=1，∴AM2+BM2=AB2，∴（2a+a）2+a2=1，解得：a=.∴BC=2a=.（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，∴MN=MB=BC，又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，在Rt△ABM中，∴MF=AF=BF=AB=BD，∴∠MAB=∠FMN,由（1）知∠MAB=∠EBC,∴∠FMN=∠EBC,又∵,∴△MFN∽△BDC.一、选择题：1.（2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．2.在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60°B．∠A=120°C．∠C+∠D=180°D．∠C+∠A=180°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，而∠B=60°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．所以D是错误的．故选D．3.（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】B【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．4.（2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1C．D．【答案】B【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE﹣AB=1，故选：B．5.（2018•陕西•3分）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E.F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是（）.A．2S1＝3S2.B．2S1＝S2.C．S1＝3S2.D．3S1＝2S2.【答案】A【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S平行四边形ABCD=AB•2ON，S平行四边形ABCD=BC•2OM，∴AB•ON=BC•OM，∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，∴2S1＝3S2，故答案为：2S1＝3S2.故选A.二、填空题：6.（2018·湖南省衡阳·3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是．【答案】16【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．7.（2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为．【答案】14【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为14．8.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.【答案】6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．详解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN=AM=3，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP=AM=6，故答案为：6．9.（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．【答案】2≤a+2b≤5．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．三、解答题：10.已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解析】：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝112.∵n为整数，∴θ不能取630°.∴甲对，乙不对．(2)依题意，得(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180.解得x＝2.11.(2017·河北模拟)看图回答问题：(1)内角和为2018°，佳佳为什么说不可能？(2)音音求的是几边形的内角和？【解析】：(1)∵n边形的内角和是(n－2)·180°，∴内角和一定是180°的倍数．∵2018÷180＝11……38，∴内角和为2018°不可能．(2)设漏加的内角为x°，依题意，得(n－2)·180＝2018＋x，∴x＝180n－2378.∵90＜x＜180，∴90＜180n－2378＜180.解得133245＜n＜141990，且n为整数．∴多边形的边数是14.故音音求的是十四边形的内角和．12.如图，在▱ABCD中，E，F在对角线AC上．(1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形；(2)BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线和高线时，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，则有四边形BEDF是平行四边形．【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平