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第25讲视图与投影1．三视图(1)主视图：从正面看到的图形；(2)左视图：从左面看到的图形；(3)俯视图：从上面看到的图形．2．画“三视图”的原则(1)位置：主视图；左视图；俯视图．(2)三种视图边的关系：长对正，高平齐，宽相等．(3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．3．几种常见几何体的三视图4.投影物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．在同一时刻，物体高度与影子长度成比例．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．5．立体图形的展开(1)常见几何体的展开图(2)正方体展开图的三种类型第一类：“141”型，特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：如图中数字“1”与“6”相对，“2”与“4”相对，“3”与“5”相对．第三类：“222”型和“33”型，特点：两面三行，像楼梯；三面两行，两台阶．如图：图中“1”与“4”，“2”与“5”，“3”与“6”相对．6．立体图形的折叠一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一对互逆的过程.考点1：立体图形的展开与折叠【例题1】（2019▪贵州毕节▪3分）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（）A．国B．的C．中D．梦【答案】B【解答】解：根据正方体相对的面的特点，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，故选：B．归纳：1．可通过具体操作强化空间观念，即熟练的进行平面图形与立体图形之间的互相转化．2．折叠与展开是一个互逆的过程，可通过折叠验证展开，也可通过展开验证折叠．考点2：三视图【例题2】（2019•甘肃•3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+23）cm2．【答案】（18+23）cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为3cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+23（cm2）．故答案为（18+23）cm2．归纳：先要明确俯视图的观察方向，再区分俯视图中的线段是实线还是虚线．观察俯视图时要从上往下看，注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线．考点3：涉及三视图计算问题【例题3】图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)．探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm；(2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)；(3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数注：sin37°≈35，tan37°≈34.【解析】：(1)平行3(4分)(2)V液＝12×3×4×4＝24(dm3)．(7分)(3)过点B作BF⊥CQ，垂足为F.∵S△BCQ＝12×3×4＝12×5×BF，∴BF＝125dm，∴液面到桌面的高度是125dm.∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝BQBC＝34，∴∠BCQ≈37°.由(1)可知CQ∥BE，∴α＝∠BCQ≈37°.归纳：一般把左视图画在主视图的右方，俯视图画在主视图的下方，并使得视图各部分的比例恰当。其中主视图、左视图的高度相等；主视图、俯视图的长度相等；左视图的宽度（横向）与俯视图的宽度（纵向）相等。写成口诀就是：“主俯长对正，主左高平齐、左俯宽相等”。一、选择题：1.（2018年江苏省泰州市•3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A．B．C．D．正方体四棱锥圆柱球【答案】B【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．故选：B．2.（2019▪广西池河▪3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球【答案】A【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．3.（2018·湖南省常德·3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D．4.（2018·山东临沂·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（）A．12cm2B．（12+π）cm2C．6πcm2D．8πcm2【答案】C【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．故选：C．5.（2019•山东省济宁市•3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选：B．二、填空题：6.（2019•山东青岛•3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走4个小立方块．【答案】4【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．故答案为：47.（2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为4cm．【答案】4【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，由题意可得出：EQ=AB，∵EF=8cm，∠EFG=45°，∴EQ=AB=×8=4（cm）．故答案为：4．8.（2018•青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有10种．【答案】10【解答】解：设俯视图有9个位置分别为：由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；②一定有2个2，其余有5个1；③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：故答案为：10．9.（2019•河北省•2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯是.【答案】x2+3x+2，【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，三、解答题：10.一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．【解析】：该几何体如图所示．(4分)表面积为2×π×822＋8π×10＋5×8－π×82×5＝(92π＋40)(mm2)；(8分)体积为π×822×10－12π×822×5＝120π(mm3)．(12分)11.如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．【解析】：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴CDAB＝DEBE，即2AB＝33＋BD①.∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB＝HGHB，即2AB＝5BD＋5＋5②.由①②得33＋BD＝5BD＋5＋5，解得BD＝7.5，∴2AB＝37.5＋3，解得AB＝7.答：路灯杆AB的高度为7m.12.小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m(点A、E、C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m)．【解析】：如题图，过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30.∵EF∥AB，∴FHBG＝DHDG.由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.∴0.5BG＝0.830，解之，得BG＝18.75.∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0，∴楼高AB约为20.0米．13.如图，在一座大厦(图中BC所示)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(图中EF所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的D处时停下．(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；(2)请你求出此时小亮的影长．【解析】：(1)如图，DG为小亮的位置，BH为他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；(2)设此时小亮的影长BH为xm.依题意得GD⊥AB，CB⊥AB，∴∠ADG＝∠ABH＝90°.又∵∠DAG＝∠BAH，∴△ADG∽△ABH，∴DGBH＝ADAB.由题意得AB＝30m，DG＝1.6m，BD＝5m，∴AD＝AB－BD＝25m，∴BH＝DG·ABAD＝1.6×3025＝1.92(m)．答：小亮此时的影长是1.92m.