电子科技大学泛函分析(江泽坚)作业题答案

P46:第一章习题：1.验证,()dm满足距离定义。解：设ix，iy属于X，是数，1,sup.jjjdxy(1)对j，有0jj，所以1supjjj，,0dxy，且1sup00jjjjjjj，即,0dxy当且仅当.xy(2)11,supsup,jjjjjjdxydyx；(3)设iz1111,supsup()()supsup,(,)jjjjjjjjjjjjjjdxzdxydyz综上(1)，(2)，(3)，,d满足距离定义。3.试证明：在空间()s中的收敛等价于坐标收敛。证：设(),1,2,nnjxsn，(0)0jxs，若0nxx，则必有()(0)lim,1,2,njjnj，否则，jN，00，与正整数列的子序列1kkn，使()(0)0,1,2,knjjk，因为()1tftt是单调递增，所以()(0)00()(0)011,,1,2,2211kkknjjnjjnjjdxxk，这与0,0kndxx矛盾，故()s中的收敛可推出坐标收敛。若()(0)lim,1,2,njjnj，则对j，0，0NN，0nN，()(0)2njj，()(0)0()(0)1111,,1,2,2211njjnjjnjjjjdxxk，由的任意性得0,0.ndxx故命题得证。4.证明：空间c是可分的。证：令0s表示所有形如12{,,,,,,}mmmrrrrr的元素的集合，m为任意正整数，(1,2,)jrjm是任意的有理数，所以0s可数。故要证0s在收敛序列空间c内是稠密，只需证明xc，0s中序列1kkx使(,)0kdxx。对xc，x为收敛序列，所以对0，m，,ijm时，有.3ij当jm时，构造()1kjkr使0，0K，0kK时有()3kjjr，令()()()()12,,,,,kkkkkmmxrrrr，则对0，,mk，0kK恒有()()()111(,)supmaxsup,supkkkkjjjjjjjjmjmdxxrrr()1max,sup()3kmmmjjmrmax,333所以0s在c中稠密，即c可分。9.证明：(1)plp是完备的距离空间。证：设()()()12(,,)nnnxxx是pl中的Cauchy序列，则对任意0，存在0N，使得当,mnN时，()()()()1.ppmnmnpiipixxxx(1)于是对每个固定的i，,mnN时，()()()().mnmniipxxxx这表明对每个固定的i，()1ninx是Cauchy数列。因此()nix收敛。设当n时()(1,2,).niixxn令12(,,).xxx下面证明pxl并且().nxx由(1)式知道，对任意1k，当,mnN时，()()1.kpmnpiiixx在上式中固定nN时，先令m，再令k，得到()1.pnpiiixx(2)这表明().npxxl由于pl是线性空间，故()().nnpxxxxl而且式(2)还表明，当nN时().npxx因此()().nxxn故(1)plp是完备的。26.设T是从赋范线性空间1,X到赋范线性空间2,Y的有界线性算子，证明112211supsupxxTTxTx证明：由20001112211supsupsupxxxTxTTxTxxxx，得1112222111,0011supsupsupsupxxxxxTxTxTTxTxTxx，故式中“”均可改为等号，命题得证。27.设T是Banach空间X上有界线性算子，如果存在X上有界线性算子S，使TSSTI，则T是有界可逆的，而且1.TS反之，如果T是有界可逆的，则11.TTTTI这里I是X上恒等算子，即,.IxxxX证：(1)记()|,RTyxXyTx使，则T是从X到()RT的满射，若12,xxX，使12TxTxy，则由STI可得111222,.STxIxxSTxIxx所以12xx，所以T是从X到()RT得单射，可定义从()RT到X中的算子：1Tyx，当.yTx则由SyI可得SySTxIxx，所以1TS，又S是有界线性算子。所以T是有界可逆的。(2)若T是有界可逆的，则T既是单射又是满射，且1T是有界线性算子。对xX，()yRT，使Txy且1Tyx，则11TyTTxx，所以1TTI，又1TTyTxy，所以1TTI，即11.TTTTI28.设X是距离空间，:TXX是映射。如果T是压缩的，求证：对任意自然数n，nT也是压缩的。如果对某个自然数1n，nT是压缩映射，T也一定是压缩映射吗证：(1)因为T是压缩映射,所以(0,1)，使得(,)(,)TxTyxy，从而222(,)(,)(,)TxTyTxTyxy。假定(,)(,)nnnTxTyxy成立，则有111(,)(,)(,)(,)nnnnnnTxTyTxTyxyxy。于是根据数学归纳法原理，(,)(,)nnnTxTyxy对n成立。又0101.n故有(,)(,)nnTxTyxy。即nT是压缩映射。(2)逆命题不一定成立。例如：():[0,1][0,1].2xfx2():[0,1][0,1]2xfx是压缩映射，但是():[0,1][0,1]2xfx不是压缩映射。第二章习题：9.设M是Hilbert空间H的一个线性流行。证明：(1)M是H的子空间；(2)=MM（）；(3)如果1M也是H的线性流行，使1MM，则1MM。证：(1)如果,xyM，,是任意两个数，则对每个zM，我们有(,)(,)(,)000xyzxzyz，从而xyM，因此M是H的子空间。(2)()xM，对yMM有(,)0xy，xMMM（）；下证MM（）对Mx，Mx，故Mx，所以)(Mx，因此)(MM，故有)(MM。(3)111xMxMMMxMxM且，1MM。10.试证明H按如下范数：1sup()xffx，当fH是完备的赋范线性空间。证：H表示Hilbert空间H上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形式的线性空间。因为fH，所以1sup()0xffx，0f当且仅当()0fx；11sup()sup()xxffxfxf；111sup()()sup()sup()xxxfgfxgxfxgxfg故，H为赋范线性空间。下证H是完备的：设1nnf是H中的Cauchy序列，则对0，正整数N使当,nmN时有nmff即1sup()()nmxfxfx因为yH，有()()nmyyffyy，则()()nmfyfyy，故1()nnfy收敛。设lim()()nnfxfx，则上式中令m可得1sup()()nxfxfx当nN所以，1()nnfx一致收敛到()fx，而()fx也是连续函数，则，nmff，即nff且fH，故H事完备的。综上，H是完备的赋范线性空间。11.证明：对任意的xH，1sup(,).yxxy证：如果0x，结论显然成立。因此考虑0x的情形。如果1y，则Cauchy-Schwarz不等式表明(,).xyxyx因此，我们有1sup(,).yxyx至于相反的不等式，令/zxx，则1z，因此1sup(,)(,)(,/)(,)/.yxyxzxxxxxxx因此，1sup(,)yxxy，且上确界实际上是最大值。12.验证定理中的A是H上有界线性算子。证明：(,)(,)(,)xyzxzyz(,)(,)AxzAyz(,)(,)AxzAyz((),)Axyz()AxyAxAyA是线性算子。(,)xy是有界的，则(,)(,)xyAxyCxy，且(,)AxyAxy又C是任意的C使(,)(,)xyAxyAxyCxyAxCxA是有界的。综上，A是H上有界线性算子。第三章习题：1.设无穷矩阵,1ijija满足1sup().ijija由它定义的线性算子:TyTx为1,1,2,,iijjjai其中12,,,nnx，12,,,,.nny试证明T是从()m到自身的有界线性算子，且1sup().ijijTa证：设1nnxm，1nny，yTx，1iijjja，则111sup()iijjijjijxijjjaaak，其中xk满足,1,2,jxkj，所以.ym对12,xxm，,，()()12121nnnxxm，所以121()iiyTxx，其中()()121,1,2,iiiijjai，因为()()()()1212111iiiiiijijijijjjjaaaa，所以1212()TxxTxTx。1111supsupsupsupsupiijjijjijxiiiijjjTTxaaa又11supsupxxTTxTx，取(0)01iiy，存在(0)011jjx，使(0)(0)11iijjijjjaa，且01x，所以01sup()ijijTya，综上所述，原命题得证。5.设X是Banach空间，,()ABLx，若,AB有界可逆，则AB有界可逆，111.ABBA证：因为,AB有界可逆，即12,cc，对xX，有1Axcx，2Bxcx，所以112()()ABxABxcBxccx，所以AB有界，又1111()()BAABBAABI，1111()()ABBAABBAI，所以AB可逆，且111.ABBA19.试证明：Banach空间X是自反的当且仅当*X是自反的。证：假设*X自反的。如果**XX，则存在某个非零的***FX使得()0Fx，.xX由于*X是自反的，存在非零**xX使得*()()Fffx，**.fX特别地，**ˆ()()()0xxxxFx对所有xX成立，于是*0x，矛盾。因此，X必然是自反的Banach空间。25.设1{}[,],[,].nnxCabxCab证明：如果wnxx，则1{}nnx逐点收敛于x，即任给[,]tab，都有lim()().nnxtxt证：因为wnxx，则(){}nx有界。对每个[,]tab，令()()([,])tfxxtxCab，则*[,].tfCab因此l