矩阵的定义及其运算规则

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矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言,所谓矩阵就是由一组数的全体,在括号()内排列成m行n列(横的称行,纵的称列)的一个数表,并称它为m×n阵。矩阵通常是用大写字母A、B…来表示。例如一个m行n列的矩阵可以简记为:,或。即:(2-3)我们称(2-3)式中的为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母,表示矩阵的行数,第二个注脚字母j(j=1,2,…,n)表示矩阵的列数。当m=n时,则称为n阶方阵,并用表示。当矩阵(aij)的元素仅有一行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵,有相同的行数和相同的列数,而且它们的对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A=B。2、三角形矩阵由i=j的元素组成的对角线为主对角线,构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零,而另外一侧的元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵。例如,以下矩阵都是三角形矩阵:,,,。3、单位矩阵与零矩阵在方阵中,如果只有的元素不等于零,而其他元素全为零,如:则称为对角矩阵,可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1,如:,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示,即:当矩阵中所有的元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵A=(aij)m×n和B=(bij)m×n相加时,必须要有相同的行数和列数。如以C=(cij)m×n表示矩阵A及B的和,则有:式中:。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。由上述定义可知,矩阵的加法具有下列性质(设A、B、C都是m×n矩阵):(1)交换律:A+B=B+A(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如:由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质:设A、B都是m×n矩阵,k、h为任意常数,则:(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+h)A=kA+hA(3)k(hA)=khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若:则矩阵的元素由定义知其计算公式为:(2-4)【例2-1】设有两矩阵为:,,试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数,故可乘,其结果设为C:其中:【例2-2】已知:A=,B=,求A、B两个矩阵的积。【解】计算结果如下:矩阵的乘法具有下列性质:(1)通常矩阵的乘积是不可交换的。(2)矩阵的乘法是可结合的。(3)设A是m×n矩阵,B、C是两个n×t矩阵,则有:A(B+C)=AB+AC。(4)设A是m×n矩阵,B是n×t矩阵。则对任意常数k有:k(AB)=(kA)B=A(kB)。【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为:(2-5)式中:(2-6)试将矩阵公式展开,列出方程组。【解】现将(2-6)式代入(2-5)式得:(2-7)将上式右边计算整理得:(2-8)可得方程组:可见,上述方程组可以写成(2-5)式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组,故知(2-5)式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵,称为误差方程组的系数阵,称为未知数阵,称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】设由n个观测值列出r个条件式如下,试用矩阵表示。【解】现记:(2-9)则条件方程组可用矩阵表示成:(2-10)上式中称为条件方程组的系数阵,称为改正数阵,称为条件方程组的闭合差列阵。

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