2020学年【湘教版】九年级上册数学：第4章-小结与复习

精品数学课件2020学年湘教版小结与复习学练优九年级数学上（XJ）教学课件第4章锐角三角函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业(2)∠A的余弦：cosA＝＝；(3)∠A的正切：tanA＝＝.要点梳理1.锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：∠A的对边斜边sinA=ac；∠A的邻边斜边bc∠A的邻边∠A的对边absin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝，tan60°＝.2.特殊角的三角函数1232332222132123合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：；三角关系：；边角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B3.解直角三角形acsincosAAsincosBBbc(2)直角三角形可解的条件和解法◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=，cosα=，sin2α+cos2α=.tanα·tan(90°－α)=.cos(90°－α)sin(90°－α)11对于sinα与tanα，角度越大，函数值越；对于cosα，角度越大，函数值越.大小(4)锐角三角函数的增减性(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)第一步：按计算器键，sintancos4.借助计算器求锐角三角函数值及锐角(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法①：°＇″2ndF第一步：按计算器键，2ndFsincostan方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，°＇″2ndF(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.5.三角函数的应用以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南(2)方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南图19.4.5坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=tanα.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=.(3)坡度，坡角hl(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案．ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a，可求出MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：6.利用三角函数测高(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；β③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.,tantanMEMEbMNMEa考点一求三角函数的值考点讲练例1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为()A.B.C.D.4543343545解析：根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝4533.44kkB方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．1.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是______三角形．直角2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.12针对训练例2矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．108解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.34∴tan∠AFE=tan∠BCF=.34108针对训练解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD·tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC=3.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．3434BDAD，222212513ACADCD，3412.13ADAC考点二特殊角的三角函数值例3计算：032tan60.33解：原式＝331231.(1)tan30°＋cos45°＋tan60°；(2)tan30°·tan60°＋cos230°.4.计算：333347.432332432.32解：原式解：原式针对训练考点三解直角三角形例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：(1)DC的长；53分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=，353553xADxAD，53ADBCBCx，，543xx，(2)sinB的值．ABCD解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，22221068ACADCD，2264100241ABACBC，8441sin.41241ACBAB方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).针对训练解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周长为AB＋BC＋ACsin=,ACADCAD∵∠3==1,tantan60ACDCADC∴∠tan=,ACADCDC∵∠3==2,sinsin60ACADADC∴∠2227.ABACBC27523.考点四三角函数的应用例5如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).故改造后的坡长AE为m.103106sin45AFAE106F7.如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i=1:．求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)3针对训练ABCDEF45°i=1:3ABCDEF45°i=1:3GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.10=103tanEHFHFi∠(米)，1032FGFHHG(米).又∵AG=DG=10米，∴(米).故加固后坝底增加的宽度AF为米.1032101038AFFGAG1038例6如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）3解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，∴∠DAH=∠FAE=30°，在直角三角形AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=，∴CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，33tan1.11BCxACBAC，∠GH在Rt△BDG中，∵BG=DG·tan30°，解得：x≈13，∴大树的高度为：13米.3331.11xDGBGx，，∴33331.113xx∴GH针对训练8.如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．(1)求点B到AD的距离；答案：点B到AD的距离为20m.C(2)求塔高CD（结果用根号表示）．C解：在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=(m)，在Rt△ADC中，∠A=30°，答：塔高CD为m.20320101032ADDC∴(m).10103例7如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=CO/AO，∴CO=AO·tan∠CAO=（45×0.1+x）·tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=DO/BO，∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°，∵DC=DO－CO，∴36×0.1=x·tan58°－（4.5+x），因此，B处距离码头O大约13.5km.360.14.5360.14.513.5.5811.601x∴9.某海滨浴场东西走向的海