理论力学

北京理工大学宇航学院力学系韩斌22/II理论力学B(10-1-j7a)2§7动力学基础刚体动力学研究的基本问题：——已知力求运动——已知运动求力——已知部分力和运动,求另一部分力和运动解动力学问题的基本出发点——Newton第二定律(在惯性系中成立)3动力学问题的研究步骤和求解方法：质点系动力学(本课程讨论的内容):质点动力学:用Newton第二定律(见大学物理)法1：列出各质点牛顿运动方程+质点间约束方程+初始条件法2：建立质点系整体运动学特征量与质点系整体所受力系作用的特征量之间的关系仅适用于有限个质点组成的质点系适用于无限多质点组成的质点系—刚体及刚体系—§8,§9本课程的重点—§7力系的主矢和力系的主矩等质点系的动量和动量矩等4质点系动力学的基础：仍为Newton第二定律取惯性系：即运动学量应取为绝对速度、绝对加速度、绝对角速度、绝对角加速度若取非惯性系：即将运动学量用复合运动方法表示,将惯性系中的方程移项后为相对运动学量的关系式列动力学方程时的参考系：)(CreaiiaaamamFaiiamF例如,对质点rCeiiamamamFrCeiiamFFF5质点系的整体运动学特征量外力系作用的特征量力系的功W力系的主矢RF力系的主矩OzOMM,动能T，动量，p动能定理动量定理动量矩定理动力学三大基本定理刚体动力学部分的学习要点:1)严密完整的理论框架,典型的“演绎”研究方法2)注意解题时综合运用基本原理,并结合运动学关系动量矩LOzOL(对某点)(对某轴)6质点系质量分布的两个主要特征量：质心C(质量中心)转动惯量J(质量的分布特点)质心C(质量中心)：与质点系平移的动力学特性有关；转动惯量J：与质点系转动的动力学特性相关。一、质点系质量分布的特征量在动力学中，质点系的运动特征除用运动学量(速度、角速度)描述外，还和质点系的质量和质量分布的特征量有关。7iD1D2DimiryxzO1.质点系及刚体的质量和质心C设质点系由n个质点组成，iDni,,2,1im第i个质点的质量为；ir位于),,(iiizyxniimm1质点系的总质量CCr),,(CCCzyx对刚体,将以上式中求和改为积分注意：质心只是空间中的一个几何点,不一定与质点系中某个质点重合;各质点位置变化时,质心的位置一般也改变。mxmxniiiC1mymyniiiC1mzmzniiiC1(7-2)mrmrniiiC1质点系的质心(7-1)82.质点系及刚体对某l轴的转动惯量JlyxzOiD1D2Dimiril轴定义:质点系对l轴的转动惯量:niiilmJ12(7-4)刚体对l轴的转动惯量:yxlOdmmlmJd2(7-5)(即质量对某轴的二次矩)转动惯量的特点：与运动状态无关，仅与质量分布有关，恒大于或等于零。定义:质点对l轴的转动惯量:2mJl(7-3)l轴m9若某刚体对z轴的转动惯量为Jz,则有2zzmJ(7-6)定义：回转半径（惯量半径）z刚体在平行于xy的平面内做平面运动时，OOzlJJJl轴常取为垂直于运动平面,如：Zm刚体对直角坐标3个轴的转动惯量：mzyJmxd22mxzJmyd22myxJmzd22（均质规则形状体的J见附录II）(7-7)可视为将刚体的全部质量都集中于距z轴距离为的某一点时，该质点对z轴的转动惯量为Jz。zzxyOzlyxzO103.常见的几种均质物体的转动惯量(见附录II)2121mlJCz231mlJzA细直杆AB，C为杆的中点z轴和z’轴垂直于xy平面ylmxzy’z’CAB应牢记！11222321mRJmRJzOCz圆板，C为圆心,O为周边上的一点,z轴和z’轴垂直于xy平面xyy’RCz’zO222mrJmrJzACzxyz’Cr细圆环，rt，C为圆环中心,A为环上的一点,z轴和z’轴垂直于xy平面tzA其余情形可参考书后附录II的表124.转动惯量的平行轴定理(计算刚体对任意轴的转动惯量)xyzOCxCyCzC2mdJJCzz(7-8)平行轴定理某刚体对一系列相互平行之轴的转动惯量中，对过质心的质心轴的转动惯量数值最小。点C为该刚体质心,则对刚体上任意点的坐标：cba,,axxCbyyCczzC建立平行的两个直角坐标系Oxyz和,CCCzyCx对某刚体：其中为对质心轴的转动惯量。CzJCz222badd为，两平行轴间的距离Czzdab(a,b,c)13刚体系对某轴的转动惯量符合叠加原理，复杂形状物体的可分解为形状简单的几部分，分别求对同一轴的转动惯量后再相加。5.刚体系转动惯量的叠加原理6.实际工程构件(多为非规则或非均匀物体)的转动惯量可由回转半径和总质量计算:则刚体对z轴的转动惯量Jz为2zzmJ(7-9)若已知刚体对某z轴的回转半径（惯量半径）z14引入惯性积mxymxyJdmyzmyzJdmxzmxzJd(7-10)7.刚体对某点的转动惯量矩阵显然它们的值可正可负可为零。称它们为对相应二直角坐标轴的惯性积，也是表征刚体在直角坐标系Oxyz中质量分布状况的一种物理量。zyzxzyzyxyxzxyxJJJJJJJJJJ][令(7-11)称为刚体对点O的惯量矩阵，为实对称矩阵。yxzO15例题7-1两根均质细杆AB和BC,长度为l,质量分别为m和2m,焊接为一体，求对过B点垂直于杆的轴的转动惯量。解：利用转动惯量的平行轴定理2222232)2(22121)(22mllmlmBCmJJBCCBCB§7动力学基础ACBm2m2222131)2(121)(1mllmmlBCmJJABCABB221mlJJJBCCABCBC1C2思考：该杆对过其质心垂直于杆的轴转动惯量为多少？7l/6C16例题7-2§7动力学基础1.求以下刚体对z轴的转动惯量解:转动惯量的叠加原理BzBDzOAzzJJJJ22231)2(121mllmmlJOAz222382)2(2121mlmllmJBDz根据平行轴定理2mdJJCzz25mlJJJJBzBDzOAzz均质细杆OA和BD,已知:OA杆长l,质量m,BD杆:长2l,质量2m,两杆呈直角焊接,并在B端焊接了一个质量m的小球。(1)lmmlmJzz25452总2zzmJ总还可求出系统整体对z轴的回转半径：xyOABDlllz222)2(mllmJBz17)3(2)(2222222rRmmRrRmmRJJzzxyRrz均质圆环板,内半径r,外半径R,圆环板的质量为m(2)又22RrmmRrmmmrRmrRrmmrRRmrR222222,)(2121212222222222rRmmrrRrmRrRRJz若求空心环对z’轴的转动惯量例题7-2解：设半径R的实心大圆板质量为mR半径r的实心小圆板质量为mr222121rmRmJJJrRrzRzz则圆环板z’§7动力学基础18例题7-22.均质细杆AB，长度为l，质量为m，BAC杆AB沿墙壁和地面滑倒时,杆对过速度瞬心P轴的转动惯量。PJP解：利用转动惯量的平行轴定理222231)2(121)(mllmmlPCmJJCP§7动力学基础198.惯量主轴，主转动惯量如果直角坐标系Oxyz中与z轴有关的两个惯性积,均等于零,称z轴为刚体对点O的惯量主轴(惯性主轴)。yzJxzJ主转动惯量——刚体对惯量主轴的转动惯量。中心惯量主轴——过质心的惯量主轴。中心主转动惯量——刚体对中心惯量主轴的转动惯量。刚体上(或刚体的延拓部分)的任一点，都存在该点的3根惯量主轴，对应的有3个主转动惯量。COzyxz1y1x120刚体上(或刚体的延拓部分)的任一点，都存在3根惯量主轴，对应的有3个主转动惯量。3个主转动惯量即惯量矩阵的3个特征值,3根惯量主轴的方向即惯量矩阵的3个特征向量的方向。一般,物体的质量对称轴就是一根惯量主轴y1x1z1OxzyO211）物体若有质量对称轴，对该轴上任意一点，质量对称轴就是一根惯量主轴（也是中心惯量主轴）。9.刚体惯量主轴的判断一般情况下，惯量主轴和主转动惯量的确定比较复杂但当刚体的质量分布具有某种对称性时，惯量主轴很容易判断：2）物体若有质量对称面，对该面上任意一点，过该点垂直于对称面的轴就是一根惯量主轴。第2,3章中常见的平面运动刚体，通常就是这种情形。zOzO22例题7-3均质细杆BD，长度为l，质量为m，与铅垂轴z轴焊接，试求杆BD对z轴的转动惯量。zJ解：利用转动惯量的定义2202041d43d)60sin(mlxxlmxxlmJllz§7动力学基础zBAO60Dx60sinxxdx思考：z轴是杆BD的惯量主轴吗？