数学模型课程设计-中国人口增长预测

1中国人口增长预测摘要:中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数btyaec，利用logistic模型求出人口最大上限mx，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(ˆx，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。关键词:曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率2一、问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。二、符号说明nianfen年份chusheng出生率bata0估计的参数值nlinfit非线性拟合函数1y出生率函数2y死亡率函数mx人口上限t时间x（t）人口增长函数X(0)中国各年人口总数X(1)X(0)的一次累加序列Z(1)X(1)的紧邻均值生成数列-a发展系数b灰色作用量)0(ˆx人口预测值c均方差k相对误差三、模型的假设1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略；2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响；3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。四、模型的建立与求解4.1中国人口短期预测的模型建立与求解根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型btyaec。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一）处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋向一个固定值，即最大容纳量xm，由logistic模型求出。假设xm在短时间内不会改变，则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，xm为中国人口的最大容纳量。3建立logistic模型20(0)mdxrrxxdtxxx20(0)dxxxdtxx（1）解得：0()11mrtmxxtxex，mx将1996-2005年中国人口总数带入方程（1），导数用一阶差商来代替：()()()2ihiifxfxhdxfxdth（2）得方程组(0)(0)(0)(0)20000(0)(0)(0)(0)20000(0)(0)(0)(0)20000(3)(1)(2)(2)2(4)(2)(3)(3)2()(2)(1)(1)2xxxxxxxxxnxnxnxn（3）由最小二乘法求解出,可得：mx设置系数的初始值beta0，beta0是使函数收敛的值。并由代码拟合，分别得到出生率和死亡率的函数。（详细代码见附录一）出生率函数：1959.7455346.7280008.01tey（4）死亡率函数8561.943434.880001.02tey（5）将logistic模拟出的数据mx代入btyaec的常数项，用MATLAB求解（方法同（4）、（5））人口增长函数：0.027837046()37355.571160000txte保留结果时，用digits，vpa来精确位数。由拟合函数求得预测死亡率与出生率。并计算相对误差见表1表1：1996-2005年实际数据与预测数据的比较及相对误差年代实际出生率‰实际死亡率‰预测出生率‰预测死亡率‰出生率相对误差死亡率相对误差199616.986.5616.666.510.01880.0076199716.576.5116.086.500.02960.0015199815.646.5015.496.500.00960.0000199914.646.4614.916.490.01840.0046200014.036.4514.336.480.02140.0047200113.386.4313.746.470.02690.0062200212.866.4113.166.460.02330.0078200312.416.4012.576.450.01290.0078200412.296.4211.986.440.02520.0031200512.406.5111.406.430.08060.01234实际数据与预测数据的比较051015201994199619982000200220042006年份出生率实际出生率‰预测出生率‰（图1）实际出生率与预测出生率比较实际数据与预测数据的比较6.356.46.456.56.556.61994199619982000200220042006年份死亡率预测死亡率‰实际死亡率‰（图2）实际死亡率与预测率的比较表2：1996-2005年实际人口与预测人口的比较年份19961997199819992000人口（百万）122389123626124761125786126743拟合（百万）122644123670124667125637126581年份20012002200320042005人口（百万）127627128453129227130000130756拟合（百万）126581128390129258130102130923实际人口与预测人口比较1180001200001220001240001260001280001300001320001996199719981999200020012002200320042005年份人口实际人口预测人口（图3）实际人口与预测人口的比较由表1、表2及其相关图例可得出生率与死亡率预测值与实际值相对误差较小，实际人口与预测人口的误差较小，由出生率、死亡率函数与人口增长函数的关系可知拟合函数)(tx可直接用于人口预测。表3即为2006-2011年的人口预测值。5表3：2006-2011年的预测值年份200620072008200920102011人口1317211324981332531339871347011353964.2中国人口长期预测的模型建立与求解4.2.1模型的建立与求解对于序列X(0)=（x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5),x(0)(6),x(0)(7)......x(0)(n)）建立灰色模型中较常用的GM(1,1)模型：bkazkx)()()1(0）（（1）X(0)：中国各年人口总数（见表4）X(1)=（x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),x(1)(4),x(1)(5),x(1)(6),x(1)(7),x(1)(8),x(1)(9)......x(1)(n)）为x的一次累加序列，其中x(1)（k）=)(x1)0(iki（见表5）Z(1)为X(1)的紧邻均值生成数列，)1(5.0)(.50)()1()1()1(kxkxkz（见表四）表4：1996-2005年中国总人口X(0)年代19961997199819992000人口数（百万）122389123626124761125786126743年代20012002200320042005人口数（百万）127627128453129227129988130756表5:X(0)的依次累加序列X(1)X(1)(1)X(1)(2)X(1)(3)X(1)(4)X(1)(5)122389246015370776496562623305X(1)(6)X(1)(7)X(1)(8)X(1)(9)X(1)(10)750932879385100861211386001269356表6：X(1)的紧邻均值生成数列Z(1)Z0(1)(2)Z0(1)(3)Z0(1)(4)Z0(1)(5)Z0(1)(6)123007.5308395.5433669559933.5687118.5Z0(1)(7)Z0(1)(8)Z0(1)(9)Z0(1)(10)815158.5943998.51073606.01203978.0-a为发展系数，b为灰色作用量；利用MATLAB软件在最小二乘法意义下求解线形方程组aˆ=YBBBTT1)(其中aˆ=ab，B=111),(),3(),2(z)1()1()1(nzzY=)(x)3(x)2(x)0()0()0(n求解知：aˆ=ab=.01228710668873.00-3.0-a,GM（1，1)可用于中长期预测。方程（1）的白化方程形式为：baxdtdx)1()1(（2）可以解得下列时间响应：6)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(kxkxkxabeabxkxak取x(1)(0)=x(0)(1)得abeabxkak)1(1xˆ)0(1）（）（（3）方程（3）的还原值：)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(kxkxkx=）（）（）（aakeeabxk-1)1(1xˆ)0(0（4）方程（4）即为所求人口预测函数。4.2.2模型的分析将原始数据列x（0）带入灰色动态模型中，计算出1996-2005年这个时间段的人口数)0(ˆx=（123278，124106，124941，125781，126626，127477，128334，129197，130066，130940），为了检验预测函数是否合理、精确，本文采用后验差检验方法。需要的数据如下：X（0）的方差2)0(121))((1xkxnSnk=69656236X（0）均方差1211nSS=2782.01残差方差))((1122nkknS=965766.5残差均方差1222nSS=327.58均方差比值12SSc=0.117749397≈0.118和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：表7：灰色模型检验的对比数据年份实际数据模拟数据残差相对误差（‰）均方差)()0(kx（百万）)(ˆ)0(kx（百万）)(ˆ)()0()0(kxxk)()()0(kxkk12SSc1996122389123278-8997.300.1181997123626124106-4803.901998124761124941-1801.40199912578612578150.0420001267431266261170.9220011276261274771491.1720021284531283341190.932003129