三次样条插值的MATLAB实现

MATLAB程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间ba,进行划分：bxxxan10，函数xfy在节点ix上的值nixfyii,2,1,0，并且如果函数xS在每个小区间1,iixx上是三次多项式，于ba,上有二阶连续导数，则称xS是ba,上的三次样条函数，如果xS在节点ix上还满足条件则称xS为三次样条插值函数。三次样条插值问题提法：对ba,上给定的数表如下.0x1x……nx0y1y……ny求一个分段三次多项式函数xS满足插值条件niyxSii,1,0式，并在插值区间ba,上有二阶连续导数。这就需要推导三次样条插值公式：记xf在节点ix处的值为iimxf(ni,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。在每个小区间1,iixx利用三次Hermite插值公式，得三次插值公式：1111iiiiiiiiimmxyxyxxS，1,iixxx。为了得到这个公式需要n4个条件：(1).非端点处的界点有n2个；(2).一阶导数连续有1n个条件；(3).二阶导数连续有1n个条件，其中边界条件：○1nnmxSmxS00其中：jijixji,1,00jix0jix且(1,0,ji)。jijixji,1,0，im为对应变量的一阶导数。其推导过程如下：为了确定im的值，把xS展开为：+,1212221iiiiiiiimhxxxxmhxxxx这里iiixxh1，对xS连续求两次导，得：iiiiiiiiiiiiiyyhxxxmhxxxmhxxxxS1311212126246426。于是考虑xS在节点ix处的右极限值，得：iiiiiiiiyyhmhmhxS1216240。同理，在相邻小区间iixx,1上可得xS的表达式为：及xS在节点ix处的左极限值为：1211116420iiiiiiiiyyhmhmhxS。利用xS二阶导数于节点ix处的连续性条件00iixSxS，这里1,2,1ni，有下式成立：211211111311121iiiiiiiiiiiiihyyhyymhmhhmh，用iihh111除等式两边，并注意11,,iiiiiiixxfhyyfy，上式可简记为：且11111,,31iiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfghhhhhh最后求得nmm1的线性方程组为：nnnnnnnnggggmmmm1211211122112000200000020002(**)通过以上复杂的求解和迭代，就可以求解出插值函数的近似表达式。得出来的表达式就可以用MATLAB软件来求解。具体求解过程如下：已知n对数据点,,,,,,,,332211nnyxyxyxyx，假设函数关系为xfy，但解析式不确定，数据插值就是构造函数关系式xgy，使nixi,,3,2,1，满足关系iixfxg。例题：求满足下面函数表所给出的插值条件的三次自然样条函数。12451342分析：表中所列出的是函数对点，首先要把对应的插值函数求出来，再用MATLAB软件来求区间5,1上间隔为的各点的值。求解过程如下：因自然样条插值函数的边界条件为这里3n，故确定3210,,,mmmm的方程组形式形如上面的(**)式，其中系数ii,和ig可按如下步骤进行：将上述参数带入(**)式，得到以下方程组：解得：由公式+,1212221iiiiiiiimhxxxxmhxxxx可知，由所求出的表达式可知区间5,1可分为5,44,1，对两个区间分别用MATLAB命令即可：针对第一个区间：147828123xxxy;其图像如下命令如下：x=1:4;y=(-1/8)*x.^3+(2/8)*x.^2+(7/4)*x-1;xi=1::4;y1=interp1(x,y,xi,'spline')其运行结果如下：y1=Columns1through6Column7针对第二个区间：