数学建模--细菌繁殖问题

细菌繁殖摘要本文针对酵母菌种群繁殖的基本特点，为达到解决所列出的三个问题的目的，建立了符合实际情况的预测模型。预测模型：根据题目给出的已知条件，最终建立了符合本题的Logistic模型。综合考虑了各种因素，利用计算机MATLAB编程分别对问题进行求解，并分别绘制出本题的Logistic数学模型和问题三中所列的二次多项式的曲线，以供对比。对于问题一得出，本文建立了种群预测的Malthus模型以及符合本题的Logistic模型，模型中参数K的值为：0.00081411，参数M的值为：663.97。对于问题二得出，自初始时刻起，20小时时酵母菌的数量为：663.06。该种群的增长呈现出S型，前期呈指数型增长，中后期增长缓慢，种群数量最终达到最大值：663.97。对于问题三得出，根据计算机MATLAB程序绘制出的本题Logistic数学模型以及问题三中所列的二次多项式的曲线。对两条曲线进行对比，易知符合本题的Logistic模型具有更好的预测能力。关键词：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；预测1问题重述已知酵母菌种群在培养物中的增长情况，见附录中表a所示。现根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题：问题一：建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数；问题二：利用问题一中的模型，预测20小时时酵母菌的数量；问题三：若用二次多项式2210)(tktkktN（其中)2,1,0(iki为常数）作为新模型，试从误差角度说明新模型与问题一中的模型哪个具有更好的预测能力，并画出对比曲线。2问题的基本假设与说明1）假设题目所给的数据全部真实可靠，可以作为检验所建立的数学模型的准确性的事实依据。2）在自然环境中，细菌繁殖增长会受到各方面复杂因素的影响，为简化模型，本文以题目中给出的实测数据，作为衡量所建立的数学模型准确度的主要因素。3）本文中该酵母菌种群的繁殖方式不随时间变化。3符号说明符号表示意义t时刻（单位为小时）N(t)t时刻时酵母菌的数量M酵母菌数量的最大值K、k常系数N0酵母菌的初始数量：9.64问题的分析自然界中某酵母菌种群数量的变化和随着时间的发展过程，是由很多因素决定的，自然环境、资源制约、种群的繁衍能力、种群的存活能力等，都能严重的影响种群的繁衍过程。然而，自然环境、资源制约却是决定该种群数量变化的直接原因。综合考虑这些因素成为构建符合本题中酵母菌种群繁殖预测模型的关键。建立模型对该酵母菌种群发展过程进行定量预测，就是根据现有的统计资料和初始数据，从当前实际出发，并对未来的种群发展过程，提出合理的控制要求和假设说明，应用科学的方法，预测该种群数量的发展趋势。为此，本文建立了具有预测性的Malthus模型，在综合考虑各影响因素后，建立了符合本题的Logistic模型。Logistic模型相比Malthus模型以及题中所述的二次多项式模型，更符合题目要求，用题中所给的实测数据检验后发现在误差允许范围内，是十分准确的；从误差的角度分析，Logistic模型具有更好的预测能力。5模型的建立与求解5.1数据预处理由于题中所给数据的不完备性，并不能由它来预测未来种群的发展情况，但是基于抽样调查的等概率性，可以认为它反应的种群增长情况是符合实际情况的，因此认为，根据题中数据，结合所建立的合理的数学模型，准确地对该酵母菌种群的繁殖增长数量作出合理预测。题中所给数据见附录中表a。建模初始，本文将题中所给数据分为两部分考虑，其中前八组数据为第一部分，其余数据为第二部分。5.2模型一：种群预测的Malthus模型5.2.1模型的建立在任意时刻t，细菌的繁殖速度显然可以用表达式00)()(lim)(0tttNtNtvtt来表示，设0t时刻细菌数量为0)(NtNo。我们将时间间隔[0,t]分成n等份。由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的一段时间内细菌数量的变化是很小的，繁殖速度可近似看成是不变的。因此，在第一段时间],0[nt内，细菌数量满足关系式00()NtnNkNtnnt,0时段内细菌的增量为00ttNNkNnn故nt时刻细菌数量为01ttNNknn同理，第二时段ntnt2,末细菌的数量为2021ttNNknn依次类推，可以得到，最后一时段nnttnn,1末细菌的数量为nntkNtN10（1）由于这是一个近似值。因为我们假设了在每一小段时间nittni,1(ni,,2,1)内细菌的繁殖速度是不变的，且等于该时段初始时刻的变化速度。但这种近似程度将随着小区间的长度的缩小精度越高。若对时间间隔无限细分，就可以得到精确值。所以，经过时间t后细菌总数为ktktktnnnnNnktNntkNtNe)1(lim)1(lim)(000（2）即种群预测的Malthus模型为：kteNtN0)(。5.2.2模型的求解本文结合题中所给实测数据的第一部分，运用计算机MATLAB程序对（2）式进行求解，程序见附录中程序一，得到：k=0.4580即：tetN4580.06.9)(，将其拟合的数据与题中酵母菌实测数据进行比对，见图一：012345678050100150200250300350400时间t/小时数量n已知酵母菌的观测数据Malthus拟合的数据图一酵母菌部分实测数据与Malthus数学模型曲线为验证（2）式的准确性，结合题中所给的全部实测数据，运用计算机MATLAB程序对（2）式进行求解，程序见附录中程序二，得到：k=0.25781即：tetN25781.06.9)(，将其拟合的数据与题中酵母菌实测数据进行比对，见图二：02468101214161801002003004005006007008009001000时间t/小时数量n已知酵母菌的观测数据Malthus拟合的数据图二酵母菌实测数据与Malthus数学模型曲线根据图二可以看出，在种群繁殖增长前期，Malthus数学模型可以较为准确的表示出其增长规律；在种群增长中后期却有很大偏差。本文结合Malthus数学模型拟合的数据与题中酵母菌实测数据对比，得各个时刻种群数量的误差见表1表1各个时刻种群数量的误差表时间t/小时0123456误差0-5.8767-12.923-26.395-44.177-84.759-129.51时间t/小时78910111213误差-198.95-275.19-343.29-386.85-396.06-383.04-355.36时间t/小时1415161718误差-286.16-192.17-62.002108.96332.79其误差偏大，不利于中长期预测。算得其误差平方和为：1.0848610，算得第20小时时，酵母菌的数量为：1665.6，是不符合实际情况的。又由图二可知，Malthus数学模型预测该种群呈现出无限增长的趋势，显然不符合实际。因此可以说明，Malthus数学模型不能准确的表示出该种群的发展趋势，不具备预测该种群增长数量的能力。为此，本文对该模型进行了改进与优化，充分考虑影响该种群繁殖增长的各种符合实际情况的因素后，建立了能准确表示出该种群的发展趋势，具备更好的预测能力的Logistic模型。5.3模型二：符合本题的Logistic模型5.3.1模型的建立结合Malthus数学模型的推导，本文建立了符合本题的Logistic模型，其数学表达式为))()(()(tNMtKNdttdN（3）该式中K为常系数，M为酵母菌数量的最大值，N(t)为任意时刻t时酵母菌的数量。整理该式得到N(t)的表达式为N(t)=)0(000)(0ttkMeNNMMeNttkM（4）当t时，N(t)的表达式为N(t)=)0()(000ttkMeNMNMN即符合本题的Logistic模型为：N(t)=)0()(000ttkMeNMNMN5.3.2模型的求解结合题中所给实测数据，运用计算机MATLAB程序对（4）式进行求解，程序见附录中程序三，得到K=0.00081411，M=663.97即：N(t)=)0(37.6546.9112.6374ttkMe，将其拟合的数据与题中酵母菌实测数据进行比对，见图三：0246810121416180100200300400500600700时间t/小时数量n已知酵母菌的观测数据Logistic模型拟合的数据图三酵母菌实测增长数据与Logistic数学模型曲线由图三可以看出，在种群繁殖增长的整个过程中，Logistic数学模型可以准确的表示出其增长规律，题中所给的实测数据与Logistic数学模型拟合数据，在误差允许的范围内，几乎一致。本文结合Logistic数学模型拟合的数据与题中酵母菌实测数据对比，得各个时刻种群数量的误差见表2表2各个时刻种群数量的误差表时间t/小时0123456误差0-1.9864-1.4754-1.30573.9774-0.362416.7726时间t/小时78910111213误差3.1079-1.7208-5.8102-4.9713.78566.6986-3.3014时间t/小时1415161718误差0.57621-0.477080.23238-0.21553-0.50652在误差允许范围内，预测的数据是合理的。算得其误差平方和为：211.75，算得第20小时时，酵母菌的数量为：663.06，又由图像知，Logistic数学模型预测该种群呈现出前期、中期增长较快，呈现出J型曲线，在后期随着种群数量不断接近其最大值M=663.97种群增长缓慢，种群结构趋于稳定，其数量变化很小，显然是符合实际的。因此可以说明，Logistic数学模型能准确的表示出该种群的发展趋势，具备预测该种群增长数量的能力。5.4二次多项式2210)(tktkktN模型根据题目所述，结合题中所给的实测数据，本文利用计算机MATLAB程序，运行程序见附录中程序四，计算得出该模型的参数值为k0=785.93，k1=65.706，k2=1232.1则该二次多项式2210)(tktkktN可化为21232.1706.65785.93)(tttN整理得785.93706.651232.1)(2tttN（5）为达到在误差角度下，比较Logistic数学模型与该模型的预测能力的目的。本文利用计算机MATLAB程序，将题中的实测数据、Logistic数学模型以及二次多项式模型，绘制成如下图四的曲线：024681012141618-1000100200300400500600700800时间t/小时数量n已知酵母菌的观测数据Logistic模型拟合的数据二次拟合的数据图四酵母菌实测数据、Logistic模型以及二次多项式的对比曲线由图四可以看出，题中所给的实测数据均匀的分布在Logistic模型的曲线上，相比之下，该二次多项式曲线误差较大，与实际情况不符。本文结合该二次多项式模型拟合的数据与题中酵母菌实测数据对比，得各个时刻种群数量的误差见表3表3各个时刻种群数量的误差表时间t/小时0123456误差-103.38-47.5024.133446.02379.96587.06285.411时间t/小时78910111213误差53.8159.2714-34.418-62.355-66.637-61.867-58.842时间t/小时1415161718误差-34.864-12.03314.05238.9954.43其误差偏大，预测的数据准确度偏低。算得其误差平方和为：59212。显然，Logistic数学模型的误差更小，具有更好的预测能力。6模型的优缺点分析Malthus数学模型在短期预测中具有准确度高，操作简便，容易实现等优势，但是不能准确的预测出该种群长期的发展趋势，不具备预测该种群长期增长数量的能力。为此，本文对该模型进行了改进与优化