瑞利法和里兹法研究报告-周靖丰-15213736

1/15结构动力学--瑞利法和里兹法研究报告周靖丰学号：15213736一、瑞利法和里兹法简介弹性系统振动问题归结为对系统的刚度矩阵和质量矩阵的研究。然而，从微分方程出发，研究弹性体的振动，除了一些简单的情况以外，要精确求解往往是不可能的，而工程中遇到的实际结构总是比较复杂，因此近似解法占有很重要的地位。通过对截止模态的研究发现对低频率固有频率的研究具有重要的意义，这对工程实践具有重要意义。瑞利法和里兹法基于能量守恒原理，可以用来计算振动系统固有频率的的近似值。二、推导过程和算例多自由度系统瑞利法讨论自由度为n的保守系统。设系统做某阶主振动，则系统的动能和势能为：1T2T••XMX1V2TXKX设解的形式为：sin()XAt，带入到上式中，求出动能和势能的最大值为：2max12TTAMA，max12VTAKAA是振幅矩阵，根据保守系统机械能守恒原理，最大动能与最大势能应该相等，则有以下固有频率计算公式：2()RTTAKAAAMAR（A）称为瑞利商。根据模态的定义有：2()iR(i)T(i)(i)(i)T(i)ΦKΦΦΦMΦ任选一个列阵作为假设模态，这不是实际模态，但是总能表示为简正模态的线性组合：jN=anjjaNΨΦ其中，a为系数aj（j=1，2，…,n）组成的列阵。取A=，则有：2/1522121()njjjnjjaRaTTTNNTTTNNaΦKΦaaΛaΨ=aΦMΦaaEa这样得到的瑞利商不是系统的任一阶固有频率的平方，但必介于系统的最高和最低的固有频率的平方21和2n之间：221nRΨ（），若恰当选择系数使假设模态接近k)Φ（，其中除ka以外的其他系数ja（jk）均为小量，令jjka=aj=（1，...,k-1,k+1,...,n）带入到瑞利商中可以得到：n2222kjkjj=1R=+-Ψ（）（）因此若假设模态Ψ与第K阶模态ΚΨ（）的差别为一阶小量，则瑞利商与第K阶固有频率平方2K的差别为二阶小量。从而证明瑞利商在系统的各阶真实模态j（）（j=1,2，…,n）处取驻值。对于基频的特殊情形，令K=1，则由于22j1-（j=1,2,…，n）恒大于零，瑞利商在基频处取极小值。因此利用瑞利商估计系统的基频21所得的结果必为实际频率的上限。计算中使用的假设模态愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。从物理意义上理解，假设模态相当于对实际系统增加了约束，使系统的刚度提高，因此基频随之提高。算例1：用瑞利法求4自由度系统的基频。其中𝑚1=2m,𝑚2=3𝑚,𝑚3=5𝑚,𝑚4=4𝑚,𝑘1=2𝑘,𝑘2=𝑘,𝑘3=𝑘,𝑘4=2𝑘,𝑘5=3𝑘,解:写出质量矩阵和刚度矩阵𝑀=𝑚2003000000005004𝐾=𝑘3−1−120−10000−103−2−25尝试用瑞利法求该振动系统的基频。取模态为𝑋1𝑇=1221,求出瑞利商R(ω)=0.2105𝑘𝑚,𝜔0=0.4588√𝑘𝑚实际系统的基频为：𝜔=0.4548√𝑘𝑚3/15相对误差为：|𝜔−𝜔0𝜔0|=0.88%评论：应用瑞利法能够非常简便的求出固有频率，但是求解的精度低，以上的结果是通过多次的测试所得，倘若任取一模态求瑞利商，所得结果可能与真实的固有频率相差很大。因此瑞利法更多的仅仅只是碰运气的方法，我们没有足够的把握一次就得到比较精确的结果。另外，瑞利法只能求一个频率，即基频，其原则就是尝试各种可能使得瑞利商的取值最小，但并不能得到系统更高阶的频率，于是就有了下面的改进方法瑞利法。里兹法里兹法为瑞利法的改进。用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几个频率和模态。里兹法基于瑞利法相同的原理，但将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合。其基本思路是：将无限自由度体系近似地用有限自由度体系来代替，应用势能原理求得代用体系的精确解，从而求得原体系的近似解。里兹法的具体做法是：选择一组满足求解域位移边界条件的试函数作为实际问题的近似解。显然，近似解的精度与试函数的选择有关，如果精确解包含在试函数族中，由里兹法将得到精确解。假设模态改进为若干个独立的假设模态jj=（）（1,2，...,r）的线性组合。令j1rjjaAΨa（）其中Ψ为r个假设模态构成的nr矩阵，a为r个特定系统构成的列阵：(1)(2)()T1n(),()naaaΨa２　　　...　　　　...　假设模态矩阵Ψ的各列也称作里兹基矢量。将j1rjjaAΨa（）带入到瑞利商中得到的固有频率记作，导出：2RTTaKaΨaaMa（）=其中r阶方阵K和M定义为：TTK=ΨKΨM=ΨMΨ瑞利商在系统的真实模态处取驻值。因此可利用RΨa（）的驻值条件来确定待定系数(1,2,...,),jajr4/150(1,2,...,)jRjna　　将上式代入到2RTTaKaΨaaMa（）=中运算后得到：2()()0(1,2,...,)jjjraaTΤaKaαΜα　　利用二次其次函数的特点，有：()2(),()2()jjjjaaaaΤΤTTααaKaKαaΜaΜα　其中(1,2,...,),TTjjajnae（）=，为r阶单位阵的第j列，将上式带入到2()()0(1,2,...,)jjjraaTΤaKaαΜα　　，得到r个方程综合为：2()0KΜa于是问题又归结为矩阵的本征值问题。但与原来系统的本征值问题比较，矩阵的阶数r小于原系统的阶数n。因此里兹法实质上起着使坐标缩并的作用，缩并后的本征值问题计算与原系统类似，可导出r个固有频率和r个模态，此缩并后的模态同样具有正交性。由于满足瑞利商的驻值条件，用里兹法计算模态比用瑞利法更为合理，但毕竟不是真实的模态，所导出的固有频率仍然高于真实值。算例2依然使用前面的四自由度系统作为例子，写出质量矩阵和刚度矩阵𝑀=𝑚2003000000005004𝐾=𝑘3−1−120−10000−103−2−25此次任取两个模态：𝑋1𝑇=1221，𝑋2𝑇=1000应用里兹法求固有频率先写出𝐾̂和𝑀̂:𝐾̂=𝑘8113;𝑀̂=𝑚38222根据𝐾̂和𝑀̂求出的固有频率分别为：𝜔1=0.4550√𝑘𝑚，𝜔2=1.2422√𝑘𝑚我们可以看到，𝜔1的值更加接近基频，这是由于我们沿用了瑞利法的精确结果所导致的。5/15然而，我们对于𝜔2的值所对应的固有频率并不清楚。这到底是第2阶的固有频率还是第三阶的固有频率？抑或是两者都不是？这个值究竟与哪个值比较接近？我们仅从计算结果无法得知。这是瑞利法的不足也是里兹法的不足。事实上，系统的固有频率如下：𝜔1=0.4548√𝑘𝑚，𝜔2=0.8045√𝑘𝑚，𝜔3=1.2163√𝑘𝑚，𝜔4=1.2974√𝑘𝑚我们尝试不利用瑞利法得出的精确结果，任意取三个向量进行测试，所取向量为：𝑋1𝑇=0100，𝑋2𝑇=1000，𝑋3𝑇=0010分别求出𝐾̂和𝑀̂:𝐾̂=2−1−1−130−103，𝑀̂=300020005根据𝐾̂和𝑀̂求出的固有频率分别为：𝜔1=0..5504√𝑘𝑚，𝜔2=0.8876√𝑘𝑚，𝜔3=1.2946√𝑘𝑚我们此时仍然不知道所求的固有频率究竟对应哪几阶的固有频率，但从基频来看，所求的结果没有之前瑞利法所求那么准确，这是模态选取的任意性导致的。显然，如果我们任取4个模态，所得的结果必然是精确的，这是因为4个模态组成的空间已经完全等于解的空间了。倘若我们任意的选取模态，那么里兹法的精确度是与所取模态的数量正相关的。模态张成的空间维度越接近解空间的维度，精确度越高。然而我们并不能马上确定出哪一个瑞利商对应的固有频率是基频，也不能确定它们的阶数。在实际的应用中，多自由度系统的自由度可能是几十万上百万，瑞利-里兹法这种方法并不能在不牺牲精确度的前提下大大的减少计算量。然而我们有可能使用多部计算机，尝试各种各样的模态取法，这种方法为并行计算提供的便利就比一部计算机要来的简单的多了。连续介质系统瑞利法：连续系统的瑞利法是基于能量原理的假设模态法，它是多自由度系统的瑞利法的推广，且应用更为广泛。以梁的弯曲振动为例，设梁以某阶模态函数作频率为ω的自由振动y(x,t)=∅(x)sinωt设系统为保守的，由于机械能守恒，动能与势能的最大值应相等。由T计算式和V计算式导出𝑇𝑚𝑎𝑥=12𝜔2∫𝜌𝑙(𝑥)∅2(𝑥)𝑑𝑥𝑙0,𝑉𝑚𝑎𝑥=12∫𝐸𝐼(𝑥)[∅′′(𝑥)]2𝑑𝑥𝑙0令𝑇𝑚𝑎𝑥=𝑉𝑚𝑎𝑥，并引入系统的参考动能𝑇∗，𝑇∗=𝑇𝑚𝑎𝑥𝜔2=12∫𝜌𝑙(𝑥)∅2(𝑥)𝑑𝑥𝑙0得到R(∅)=𝑉𝑚𝑎𝑥𝑇∗6/15此比值称作瑞利商。当∅(x)为准确的第i阶模态函数时，瑞利商即等于相应阶的本征值𝜔𝑖2。若∅(x)是某个试函数，它满足梁的几何边界条件，但不能满足动力学方程，则瑞利商计算产生一个依赖于∅(x)的标量R(∅)。又R(∅)必大于系统的基频，因此可以利用瑞利上估计基频的上界。实际计算时可选择梁的静变形函数，或选择条件相近的梁的精确解作为试函数。若梁上有集中质量和弹性支承，则最大势能𝑉𝑚𝑎𝑥和参考动能𝑇∗相应地改写为𝑉𝑚𝑎𝑥=12(∫𝐸𝐼(𝑥)𝑙0[∅′′(𝑥)]2𝑑𝑥+𝑘1[∅′(𝑥𝑏)]2+𝑘2∅2(𝑥𝑏))𝑇∗=𝑇𝑚𝑎𝑥𝜔2=12(∫𝜌𝑙(𝑥)∅2(𝑥)𝑙0𝑑𝑥+𝑚𝑎∅2(𝑥𝑎))算例设等截面悬臂梁在自由端处有一集中质量m=2𝜌𝑙𝑙，用瑞利法估算基频。解选择等截面悬臂梁在均布载荷作用下的静挠度曲线为试函数∅(x)=𝐴1(𝑥4−4𝑙𝑥3+6𝑙2𝑥2)代入式𝑉𝑚𝑎𝑥，𝑇∗和R(∅)=𝑉𝑚𝑎𝑥𝑇∗，导出𝜔1=1.1908√𝐸𝐼𝜌𝑙𝑙4若改用端部集中质量载荷作用下的静挠度曲线为试函数∅(x)=𝐴2(3𝑙𝑥2−𝑥3)则导出𝜔1=1.1584√𝐸𝐼𝜌𝑙𝑙4由于在本例中集中质量大于梁的分布质量，故采用后一种试函数得到更好的计算结果。里兹法:里兹法是瑞利法的改进，即将瑞利法使用的单个试函数改进为若干个独立的试函数∅𝑗(𝑗=1,2,…,𝑛)的线性组合∅(x)=∑𝑎𝑗∅𝑗(𝑥)𝑛𝑗=1其中线性独立的满足几何边界条件的试函数族∅𝑗(𝑗=1,2,…,𝑛)也称作里兹基函数。将上式代入式𝑇𝑚𝑎𝑥=12𝜔2∫𝜌𝑙(𝑥)∅2(𝑥)𝑑𝑥𝑙0,𝑉𝑚𝑎𝑥=12∫𝐸𝐼(𝑥)[∅′′(𝑥)]2𝑑𝑥𝑙0得到最大动能和势能为待定系数𝑎𝑗的二次型再代入式𝑅=𝑉𝑚𝑎𝑥𝑇∗计算瑞利商，得到𝑅=𝑉𝑚𝑎𝑥(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)𝑇∗(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)选择系数𝑎𝑗(𝑗=1,2,…,𝑛)使瑞利上驻值，令0(1,2,...,)jRjna　　7/15得到𝑎𝑗的齐次线性代数方程组，其非零解条件可用来计算系统的固有频率。以梁的弯曲振动为例，其参考动能和最大势能分别为𝑇∗=12∫𝜌𝑙(𝑥)[∑𝑎𝑖∅𝑖(𝑥)𝑛𝑖=1][∑𝑎𝑗∅𝑗(𝑥)𝑛𝑗=1]𝑑𝑥𝑙0=12∑∑𝑚𝑖𝑗𝑎𝑖𝑎𝑗𝑛𝑗=1𝑛𝑖=1𝑉𝑚𝑎𝑥=12∫𝐸𝐼(𝑥)𝑙0[∑𝑎𝑖∅𝑖′′(𝑥)𝑛𝑖=1][∑𝑎𝑗∅𝑗′′(𝑥)𝑛𝑗=1]dx=12∑∑𝑘𝑖𝑗𝑎𝑖𝑎𝑗𝑛𝑗=1𝑛𝑖=1其中𝑚𝑖𝑗=𝑚𝑗𝑖=∫𝜌𝑙(𝑥)∅𝑖(𝑥)∅𝑗(𝑥)𝑑�