n维向量及其线性运算

第四章向量组的线性相关性n维向量及其线性运算4.1向量组的线性相关性4.2向量组的秩4.3线性方程组解的结构4.4一4.1n维向量及其线性相关性n维向量的概念向量的线性运算二一、n维向量的概念定义1n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，记作或),,,(21naaa12naaan维行向量n维列向量第i个分量:ai维数:n向量的分类所有的分量均为实数的向量称为实向量；所有的分量均为复数的向量称为复向量。实向量复向量向量的表示)0,0,0,0()0,0,1()0,1,1()1,1,1(0γβα零向量向量的表示以表示实数集；全体维实向量的集合称为维向量空间，记作。在讨论行向量时，表示维行向量空间；在讨论列向量时，表示维列向量空间。以后讨论向量时，除特别声明外，均为行向量或均为列向量。约定：注：RnnRnRnnnRn向量的应用（1）bxaxaxann2211),,,,(21baaan11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11121121222212(,,,,)(,,,,)(,,,,)nnmmmnmaaabaaabaaab；；向量表示向量的应用（2）1994年全国大学生数学建模竞赛B题（锁具装箱）：某厂生产一批弹子锁具，每个锁具的钥匙有五个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数（单位略）中任取一数。试验表明在当前工艺条件下，当两个锁具的钥匙的五个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则两个锁能够互开。如何装箱才能最大范围的实现“一把钥匙开一把锁”的目的。有参赛同学将每一把锁的钥匙用一个5维向量表示，并成功地解决了这个问题。}6,5,4,3,2,1{),,,,,(54321iaaaaaaα向量的应用（3）为了描述空间飞行器的飞行状态，表示它的重心在空间的位置需要3个参数，表示它的运动速度又需要3个参数，如果它在空间还旋转，那么表示它的旋转角速度又需要3个参数，这样9个参数组成了一个9维向量。),,,,,,,,(987654321aaaaaaaaaαxyoz重心速度旋转二、向量的线性运算定义2设两个维向量，，若对于任一，均有，则称两个向量相等，记作。n),,,(21naaaα),,,(21nbbbβni,,2,1iibaβα)0,,1(xα),2,(zyββα012zyx二、向量的线性运算)0,2,1()4,5,3(βαβα)4,7,4()04,25,13(二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算【注】（1）向量的线性运算，是指向量的加法运算和数乘运算。而减法运算可以看成是数乘()运算和加法运算的合成，因此向量的线性运算又可以指向量的加法、减法和数乘运算。（2）向量的加法和减法，都要求在两个相同维数的行或列向量之间进行，对于维数不相同的向量，不能定义向量的加减法运算。