浅谈SIR流行病模型的建立和发展

1浅谈SIR流行病模型的建立和发展摘要：应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供决策依据。本文介绍传染病动力学的最基本模型――SIR模型。探讨SIR模型的发展进程和研究动向,并用SIR模型对SARS的传播进行模拟。关键词：传染病；动力学模型；SIR模型Abstract:Thedynamicsmodelsofinfectiousdiseasescanbeusedtodescribethespreadcharactersofinfectiousdiseases,predictthestatusoftheinfectionandevaluatetheefficacyofcontrolstrategies,whichareusefultoolsindiseasescontroldecisionmaking.AbriefintroductiontothebasicdynamicsmodelSIRwasmade。DiscussesthedevelopmentofSIRmodelsprocessandthetrend,andbyusingSIRmodeltosimulatethepropagationofSARS.Keywords:epidemic;dynamicmodel;SIRmodel2目录1、绪论………………………………………………………………………………11.1流行病对社会的影响………………………………………………………11.2流行病模型的研究概况……………………………………………………22、SIR流行病模型的建立…………………………………………………………42.1SIR流行病模型的简介……………………………………………………42.2SIR流行病模型的建立……………………………………………………43、不同条件下的SIR流行病模型………………………………………………103.1具有年龄结构的SIR流行病模型…………………………………………103.2具有人口流动的SIR流行病模型…………………………………………134、SARS的SIR模型………………………………………………………………204.1SARS问题的重述与分析…………………………………………………204.2模型假设…………………………………………………………………204.3模型的建立………………………………………………………………214.4模型的求解及仿真………………………………………………………224.4.1模型参数的确定……………………………………………………224.4.2模型求解……………………………………………………………244.4.3仿真结果结论………………………………………………………25致谢………………………………………………………………………………27主要参考文献……………………………………………………………………27附录………………………………………………………………………………27外文资料翻译及原文……………………………………………………………3511、绪论1.1流行病对社会的影响疾病历来是人类健康的大敌，基本上每一个时代，每一个国家，都会受到疾病的侵蚀，从而对人类的发展产生重大的影响。公元二世纪，瘟疫在罗马帝国的流行，引起了人口的急剧下降和经济恶化，加速了外族的入侵，导致了罗马帝国的崩溃。公元六世纪，鼠疫首次大流行发生于于埃及的西奈半岛，波及到欧洲所有国家，死亡近二千五百万人；第二次发生于十四世纪，起源于美索不达米亚，仅欧洲就死亡二千五百万人，即历史上著名的黑死病；第三次发生于十九世纪末至二十世纪初，死亡一千二百万人。公元十六世纪到十八世纪，每年死于天花的人数，欧洲约为50万人，亚洲约为80万人，而整个18世纪欧洲人死于天花的总数，则约在1.5亿人以上。18世纪，天花到达世界上最后一个尚未被它蹂躏的澳大利亚，杀死了50％的澳洲原住民。19世纪至20世纪初，天花依然横行无忌；这种状况一直持续到20世纪下半叶。自1817年以来，霍乱至少爆发过10次之多，影响遍布世界各地，直至今日，海地等地区依然遭受着霍乱的侵蚀，截至2012年1月，已造成7000人死亡，52万人感染，平均每天新增200名患者。可见，传染病的流行给人类生存和国计民生带来巨大的灾难。随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、2不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与社会经济发展。对传染病发病机理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出。目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态。传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际。1.2流行病模型的研究概况流行病模型的研究及发展的时间并不算很长。虽然早在1760年，D．Bernoulli就曾用数学方法研究过天花的传播，但确切的说传染病模型的研究应该说是始于20世纪。1906年，Hamer为了理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散时间模型。1911年，公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群间3传播的动态行为进行了研究。1926年，Kermack和McKendrick为了研究1665—1666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR（Susceptible-Infective-Recovered）仓室模型之后，又在1932年提出了SIR（Susceptible-Infective-Susceptible）仓室模型，并在分析所建立模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础。近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题。从传染病的传播机理看，这些模型涉及接触传播、垂直传播、虫媒传播等不同感染方式，是否考虑疾病的潜伏期，对病人的隔离，因病或因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧失，是否可以忽略因病死亡率、种群自身的增长规律等因素。对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态。早期的传染病模型大多假设种群为常数或者渐近常数，在某些条件下是合理的。但在实际问题中，不论动物还是植物的数量总是随着外界的扰动而波动，因此需要研究总人口具有种群动力学的流行病模型。常见的种群动力学行为是对易感者仓室的常数输入，种群的指数增长，Logistic型增长等。关于传染病模型研究目前已取得许多成果，研究有各种类型，所用方法有构造Liapunov函数法，极限方程理论，矩阵理论，分支理论，K序单调系统理论，中心流形理论等。42、SIR流行病模型的建立2.1SIR流行病模型的简介大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。SIR仓室模型就是针对这一类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：易感者（Susceptible）类，染病者（Infective）类，移出者（Recovered）类。SIR模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。后来很多研究人员对SIR模型做了推广。2.2SIR流行病模型的建立所谓SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：易感者（susceptible）类：记为S(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数.染病者（infective）类：其数量记为I(t),表示t时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数.移出者（Recovered）类：其数量记为R(t),表示t时刻已从染病者类移出的人数.设总人口为Nt,则有NtStItRt.K-M的SIR模型是一个十分简单粗糙的模型.它的建立基于以下三个基本假设：（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素.这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多,从5而后者可以忽略不计.这样,此环境的总人口始终保持为一个常数,即NtK,或.StItRtK（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，这里假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数St成正比,比例系数为，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为)()(tItS。（3）t时刻，单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为,从而单位时间内移出者的数量为()It。显然,是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率系数，当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中仅包括康复者时，移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率。在以上三个基本假设下,易感者从患病到移出的过程可用下述框图描述。SIISIR对每一个仓室的人口变化率建立平衡方程式,便得到以下模型：,,.dSSIdtdISIIdtdRIdt(2.2.1)6下面,我们通过对模型（2.2.1）的分析和解的渐近性态研究来初步显示动力学模型对认识传染病流行规律所起的作用。将（2.2.1）中三个方程两端分别相加，得0dtRISd，从而KtRtItS（常数）由于（2.2.1）中前两个方程中不含R,故实际上我们只需先讨论前两个方程：SIdtdISIdtdS（2.2.2）由于0dtdS,)(tS单调递减且有下界（为0）,故极限limtStS存在.由（2.2.2）有1dIdSS,.(2.2.3)可见，当S时,I达到极大值。从而不难在相平面,SI上画出系统（2.2.2）的轨线分布图，如图2.1所示.方程（2.2.3）的所有平衡点都在S轴上，而且0I为系统（2.2.2）的一条奇线。由图2.1可见,当初始时刻易感者数量00SS时,随着时间增长,染病者数It将先增加达到最大值I，然7后再逐渐减少而最终消亡。这一现象表明,只要0S,即011S,疾病就会流行。I0S图2.1令0001SRS,(2.2.4)则当01R时,疾病流行;当01R时，疾病不会流行，染病者数量It将单调下降而趋向于零.01R是区分疾病流行与否的阈值。8应当指出，（2.2.4）中的1表示平均移出时间，也就是平均患病期。事实上，由移出率系数的定义可见，若病人数量为n，则单位时间内移出者的数目为n，故经过时间1,病人全部移出。要防止疾病流行，必须减少0R使它小于1，有表达式（2.2.4）可知，这可以通过加强治疗以缩短染病期1或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力，或通过