高级微观经济学考试复习题

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第一部分：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）二、效用函数存在性证明请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为1p（2，4）时，其需求为1x（1，2）。当价格为2p（6，3）时，其需求为2x（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。如果2x（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。解答：81*42*2xp102*41*2xp2111消费束1偏好于消费束2151*32*6xp122*31*6xp2212消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。如果2x（1.4，1）时：8.61*44.1*2xp102*41*2xp2111消费束1偏好于消费束22122px6*13*212px6*1.43*111.4消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。四、效用函数121),(xxxu，求瓦尔拉斯需求函数解答：wxpxptsxxxu2211121..),(max从效用函数121),(xxxu可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02x，11pwx或者由wxpxptsxxxu2211121..),(max,可得到实际上，这是一个边角解，五、效用函数12121)(),(xxxxu，对其求1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2、希克斯需求函数，支出函数。答案：1、12111111ppwpx，12111122ppwpx，1121121)(),,(ppwwppv2、112111111)(ppuph，112111122)(ppuph，11211)(),(ppuupe（形式可能不一样）六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。请参考教材七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(wpvphwpx2.)],(,[),(upepxuph请参考教材八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}{,wxpXxBXwp：：。假定}0,{wp。证明：如果X是一个凸集，则wpB,也是凸集。请参考教材九、效用函数2121),(xxxxu，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。请参考教材十、效用函数12121)(),(xxxxu，求其货币度量的直接和间接效用函数。答案：11211121)()(),(ppxxxpw十一、效用函数2121),(xxxxu，当40,3,20201wpp，5,41211pp，求其等价变化和补偿变化。答案：wqqppwqp2121),(；，)1103(40EV，)3101(40CV十二、分析福利分析在税收方面的应用。请参考教材十三、2121),(xxxxu，假定25.01p，12p，2w，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。解答：max2121),(xxxxus.t.wpxpx2211文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1．求瓦尔拉斯需求函数（1）建立拉格朗日函数（2）求极值一阶条件02112122111pxxxL(a)02122122112pxxxL(b)02211xpxpwL(c)由(a)和(b)整理得：（3）瓦尔拉斯需求函数分别将2112=ppxx，2121=ppxx代入预算约束(c)，有2．求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数2121=),(xxxxu，有3．求支出函数由间接效用函数，求反函数w得：4．求希克斯需求函数法一：将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数iipwx2=，得到法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。5．求货币度量的效用函数（1）货币度量的直接效用函数由uppupe2122112=),(，有（2）货币度量的间接效用函数6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.25.0=01p，1=02p，25.0+25.0=11p，1=12p等价变化分析：按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收入税对消费者的福利之差为:0.08585858.02)1()5.0(25.05858.0)()(25.02121121122111——upp表明商品税对消费者的福利影响更差。补偿变化分析：按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收入税对消费者的福利之差为:8284.00.70748284.02)1()5.0(25.08284.0)()(25.02121021122111——upp=0.1213表明商品税对消费者的福利影响更差。Bwp,,x'Bwp,,[0,1].令x''=x+(1-)x',因为x是一个凸集，所以x''X.故pۤۤۤۤۤ∙x''=(p∙x)+(1-)(p∙x')≤w+(1-)w=w因此，x''Bwp,.2.E.5B因为x(p,w)对w是一次齐次的，所以对任意0有x(p,w)=x(p,w).因此，xl(p,w)=xl(p,1)w.因为当k≠l时，lx(p,1)/kp=l(p)/kp=0所以xl(p,1)只是关于pl的函数，即可记为xl(p,w)=xl(pl).文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以xl(pl)必定是pl的-1次方。因此，存在l〉0时，使xl(pl)=l/pl.根据瓦尔拉斯定律,∑lpl（l/pl）w=w∑ll=w.因此有∑ll=1是个常数.2.F.3B(a)若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y即,y∈[75,80]时,他的行为与弱公理矛盾.(b)若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100100∙120+80y即,y75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.(c)若100∙120+100y100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y即,y80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.(注:b,c假定弱公理成立)(d)无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c中有一个成立(e)当y75时,商品1是劣等品.100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100100∙120+80y因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y75100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.(f)当80y100时,商品2是劣等品.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.100∙120+100y100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.3.D.6B(a)令u~(x)=u(x))/(1=(x1-b1)'(x2-b2)'(x3-b3)',其中)/(',)/(',)/('因为函数u→u)/(1是单调变换,因此,1''',u~(•)与u(•)代表相同的效用水平.因而我们可以不失一般性的假定1.(b)对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换：lnu(x)=ln(x1-b1)+ln(x2-b2)+ln(x3-b3).根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数:x(p,w)=(b1,b2,b3)+(w-p∙b)(/p1,2/p,3/p)其中p∙b=332211bpbpbp将此需求函数代入u(•),得到间接效用函数:v(p,w)=(w-p∙b)1/p（本题（a）中验证3.G.3B(a)假设1.对于效用函数:lnu(x)=ln(x1-b1)+ln(x2-b2)+ln(x3-b3).文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.根据EMP一阶条件得:h(p,u)=(b1,b2,b3)+u/1p)/(2p/3p321/,/,/ppp将此函数代入p∙h(p,u),得到支出函数:e(p,u)=p∙b+u/1p)/(2p/3p.其中,p∙b=332211bpbpbp.(b)对(a)中求出的支出函数求导lpupe/),(，通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为（a）中所求出的希克斯需求函数。(c)根据(b)可得，DPh(p,u)=D2Pe(p,u).将a中的支出函数对p求二阶导数，得到upeDP,2=///321pppu233231322221312121/1////1////1ppppppppppppppp在，我们得到x(p,w)=(b1,b2,b3)+(w-p∙b)(/p1,2/p,3/p)于是，DWx(p,w)=(/p1,2/p,3/p)DPx(p,w)=-(w-p∙b)321232221////000/000/pppppp(b1,b2,b3)根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立.(d)根据DPh(p,u)=D2Pe(p,u)以及D2Pe(p,u)即得。文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.（e）根据upS,=DPh(p,u)=D2Pe(p,u),我们可得出D2Pe(p,u)是半负定的，并且秩为2。3.G.6(a)根据瓦尔拉斯定律，可得到：x3=(w-11px-22px)/3p(b)是齐次的。对于任意0，有：100-531/pp+32/pp+3/pw=100-531/pp+32/pp+3/pw，33231///pwpppp=33231///pwpppp.(c)因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：=3323133///5100//pwpppppp因此，代入3p=1，整理得：wpp221=wpp2215100因为该方程对于所有21,pp和w都成立,则有，=100，=-5，得，5,5,10021xx=33231//5/5100pwpppp由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到：=0代入3p=1，对角线上的第一个元素为：-5+wpp22155100若≠0，则2〉0，就可找到一组wpp21,值使得上式〉0.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.故得：=