系统辨识习题解答

系统辨识习题解答1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。提示：①MA模型zkDzuk()()()1②定义)](,),1(),([)(,],,,[10nkukukukdddnh解：因为MA模型zkDzuk()()()1，其中nnzdzddzD1101)(，从而所以当定义)](,),1(),([)(,],,,[10nkukukukdddnh，则有最小二乘格式：)()()()()(0kekhkekhdkzniii，其中e(k)是误差项。2-3、设)}({ke是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把)(ke表示成AR模型、MA模型和ARMA模型。解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成即)()()()(11kvzDkezC其中ccnnzczczC1111)(根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：自回归模型（AR模型）：)()()(1kvkezC平均滑动模型（MA模型）：)()()(1kvzDke自回归平均滑去模型（ARMA模型）：)()()()(11kvzDkezC3－4、根据离散Wiener-Hopf方程，证明解：由于M序列是循环周期为tNP，12PPN，t为M序列移位脉冲周期，自相关函数近似于函数，a为M序列的幅度。设数据的采样时间等于t，则离散Wiener-Hopf方程为：当M序列的循环周期tNP大于过程的过渡过程时间时，即PN充分大时，离散Wiener-Hopf方程可写成：由于M序列的自相关函数为,2,,0,,2,,0,)(22PPPPPMNNkNaNNkakR，代入上式得4－证明：（1）1)]()()1()(1)[()1()()(kkkkkkkkhPhhPhP(2)1)]()()()(1)[()()()1(kkkkkkkkhPhhPhP，(3)1)]()()1()(1)[()1()()()()(kkkkkkkkkkhPhhPhhPh,(4)1)]()()()(1)[()()()()1()(kkkkkkkkkkhPhhPhhPh,解：(1)由于11)]()()1()()[()1()()1()]()([)(kkhkPkhkhkPkKkkhkKIkPP，所以（2）由于1)]()()1()(1)[()1()()(kkkkkkkkhPhhPhP，及（3）由于1)]()()1()(1)[()1()()(kkkkkkkkhPhhPhP，所以（4）由于1)]()()()(1)[()()()1(kkkkkkkkhPhhPhP，所以4－18、考虑如下模型其中，u(k)和z(k)是模型的输入输出变量，v(k)是零均值白噪声。定义参数向量请利用增广最小二乘思想，写出模型参数的递推辨识算法。解：令及],,,,,,,,[)](,),1(),(,),1(),(,),1([)(111dbannnfdbffafffddbbaankvkvnkukunkzkzkh则模型化成最小二乘格式：)()()(kvkhkzfff令)()(1)(1kvzCke，及],,[)](,),1([)(1cnececcnkekekh则噪声模型也化成最小二乘格式：)()()(kvkhkeee数据向量he(k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：其中，)()()()(;0,0)(kkhkzkekkef则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：θ可表示成：4－19、考虑如下模型其中，u(k)和z(k)分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v(k)是零均值白噪声，它是不可测的。试从Markov估计概念出发，证明该模型的参数向量[,,,,]aabbnn11的估计值可以写成如下加权最小二乘算法的形式()HHHzLLLLLL1，式中，HL为数据矩阵，zL为输出向量，加权矩阵取Lv12CC，其中矩阵C为解：令及则模型化成最小二乘格式：)()()(kvkhkzff准则函数取2])()()[()(L1kffkkzkJh，其中)(k为加权因子，对所有的k，)(k都必须大于零。对于Lk,,,21(L为数据长度)，可以构成线性方程组LfLfLvHz式中)](,),1([)()1()()1()2()1()2()1()1()0()1()0()()2()1()](,),1([TTTLvvvnLuLunLzLznuunzznuunzzLLzzLffffffffffffffffLfffLhhhHz则)()()(fLfLLfLfLJHzHz，式中L为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加权因子)(k构成L)(000)2(000)1(L，设WLSˆ使得J（θ）最小，则有：从而：fLLfLfLLfLHHzHWLSˆ)(，当fLLfLHH是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为fLLfLfLLfLzHHH1WLS)(ˆ。由于LfLHzCH)(1，LfLzzCz)(1，所以由Markov估计，12)(}{}{CCvvEvCovvLLLv,其中矩阵C为C11110112111110cccccccccnnnn，取加权阵CCvvL211。P532/4：解：（1）由参数估计值偏差的估计式：我们有：)(~)]()()()[(~)(~)]()()()][()()()[(~)1(~)1(~kkkkkkkkkkkkkkkθRIθθRIRIθθθhhhhhh（A）由于)(,),(1khkhN为独立同分布，均值为零的不相关随机变量，因此有：对（A）式两边求期望值，我们有：22)(~11)1(~kENkEθθ由此递归式子，可得：22)0(~11)(~θθENkEk（B）（2）由指标的估计式：02)(~)(θθkEke将初值0θ)0(ˆ和（B）式代入，两边取对数，有：Nk11lnln2证毕。