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12-时间序列模型12.1时间序列定义12.2时间序列模型的分类12.3Wold分解定理12.4自相关函数（不讲）12.5偏自相关函数（不讲）12.6时间序列模型的建立与预测12.7案例分析（中国人口时间序列模型）12.8回归与ARMA组合模型（第3版282页）这种建模方法的特点是不考虑其他解释变量的作用，不以经济理论为依据，而是依靠变量本身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。注重序列的平稳性。当时间序列非平稳时，首先要通过差分使序列平稳后再建立时间序列模型。对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式的选择就越准确合理。12-时间序列模型12.1时间序列定义（第3版282页）随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程。用{x,t∈T}表示。简记为{xt}或xt。随机过程也常简称为过程。时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间序列。也用{xt,t∈T}表示，并简记为{xt}或xt。时间序列中的元素称为观测值。随机过程和时间序列一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。本书只考虑离散型随机过程和时间序列，即观测值是从相同时间间隔点上得到的。离散型时间序列可通过两种方法获得。一种是抽样于连续变化的序列。比如某市每日中午12点观测到的气温值序列；工业流程控制过程中，对压力、液面、温度等监控指标定时刻采集的观测值序列。另一种是计算一定时间间隔内的累积值。比如中国的年基本建设投资额序列、农作物年产量序列等。（第3版283页）用L表示一阶滞后算子，定义Lxt=xt-1则k阶滞后算子定义为Lkxt=xt-k白噪声过程：对于一个随机过程{xt,t∈T}，如果E(xt)=0，Var(xt)=σ2∞,∀t∈T；Cov(xt,xt+k)=0，(t+k)∈T,k≠0，则称{xt}为白噪声过程。-3-2-1012350100150200250300X12.2时间序列模型的分类一般分为四种类型:自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自回归移动平均过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。1.自回归过程如果一个线性随机过程可表达为xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+ut其中φi,i=1,…,p是自回归参数，ut是白噪声过程，则这个线性过程xt称为p阶自回归过程，用AR(p)表示。它是由xt的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。用滞后算子表示(1-φ1L-φ2L2-…-φpLp)xt=Φ(L)xt=ut其中Φ(L)=1-φ1L-φ2L2-…-φpLp称为自回归算子，或自回归特征多项式。（第3版284页）（第3版284页）12.2时间序列模型的分类与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，如果特征方程Φ(L)=0的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳的过程。对于一般的自回归过程AR(p)，特征多项式可以分解为Φ(L)=1-φ1L-φ2L2-…-φpLp=(1-G1L)(1-G2L)...(1-GpL)其中G1-1,G2-1,...,Gp-1是特征方程Φ(L)=0的根。xt可表达为xt=Φ(L)-1ut=(LGkLGk-1-12211++…+)-1LGkpput其中k1,k2,…,kp是待定常数。xt具有平稳性的条件是Φ(L)-1必须收敛，即应有|Gi|1,i=1,2,…,p。而Gi-1,i=1,2,…,p是特征方程Φ(L)=0的根，所以保证AR(p)过程具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为1）之外，即|1/Gi|1。（第3版284页）保证AR(p)过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之和要小于1，即∑=pii1φ１AR(p)过程中昀常用的是一阶自回归过程。xt=φ1xt-1+ut和二阶自回归过程xt=φ1xt-1+φ2xt-2+ut-6-4-202450100150200250300AR(1)序列12.2时间序列模型的分类（第3版285页）12.2时间序列模型的分类对于一阶自回归过程xt=φ1xt-1+ut，保持其平稳的条件是特征方程Φ(L)=(1-φ1L)=0的根的绝对值必须大于1，即满足|1/φ1|1或|φ1|1在|φ1|1条件下，一阶自回归过程可写为(1-φ1L)xt=utxt=(1-φ1L)-1ut=[1+φ1L+(φ1L)2+(φ1L)3+…]ut=(∑∞=01iiiLφ)ut既然xt是平稳过程，∑∞=01iiiLφ必须收敛，即一阶自回归系数φ1必须满足|φ1|1。这是容易理解的，如果|φ1|≥1，则(1-φ1L)-1发散，于是xt变成一个非平稳随机过程。（第3版285页）12.2时间序列模型的分类由AR(1)过程xt=φ1xt-1+ut有xt=ut+φ1ut-1+φ12xt-2=ut+φ1ut-1+φ12ut-2+…因为ut是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程，E(xt)=0Var(xt)=E(xt)2=E(ut+φ1ut-1+φ12ut-2+…)2=σu2+φ12σu2+φ14σu2+…=211φ−σu2（第3版286页）12.2时间序列模型的分类例12.1有AR(1)过程xt=0.6xt-1+ut，现改写为(1-0.6L)xt=utxt=L6.011−ut=(1+0.6L+0.36L2+0.216L3+…)ut=ut+0.6ut-1+0.36ut-2+0.216ut-3+…平稳的AR(1)过程变换成为无限阶的移动平均过程。例12.2有AR(2)模型xt=0.6xt-1-0.1xt-2+ut，即(1-0.6L+0.1L2)xt=ut。其特征方程是(1-0.6L+0.1L2)=0[1-(0.3-0.1i)L][1-(0.3+0.1i)L]=0特征方程的两个根是，L1=1/(0.3-0.1i)=3+iL2=1/(0.3+0.1i)=3-i因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的随机过程。（第3版286页）12.2时间序列模型的分类2.移动平均过程如果一个线性随机过程可用下式表达xt=ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q其中θ1,θ2,…,θq是回归参数，ut为白噪声过程，则称为q阶移动平均过程，记为MA(q)。因为xt是由ut和ut的q个滞后项的加权和构造而成，所以称其为移动平均过程。“移动”指随着时间t变化，“平均”指加权和之意。上式还可以用滞后算子写为，xt=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)ut或xt=Θ(L)ut其中Θ(L)=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)，称为移动平均算子或移动平均特征多项式。由定义知任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个有限阶移动平均过程都是平稳的过程。（第3版287页）12.2时间序列模型的分类与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程，Θ(L)=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)=0的全部根的绝对值必须都大于1。由MA(q)过程，有Θ(L)-1xt=ut。由于Θ(L)可表示为Θ(L)=(1-H1L)(1-H2L)…(1-HqL),所以Θ(L)-1=（LHm111−+LHm221−+…+LHmqq−1）可见保证MA(q)过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA(q)具有可逆性的条件是Θ(L)-1收敛。即必须有|Hj|1或|Hj-1|1，j=1，2，…，q成立。而Hj-1是特征方程Θ(L)=0的根，所以MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程Θ(L)=0的根必须在单位圆之外。（因为xt=Θ(L)ut是平稳的，如果变换成Θ(L)-1xt=ut后变得不平稳，显然失去可逆性。）12.2时间序列模型的分类注意，对于无限阶的移动平均过程xt=∑∞=0(iθiut-i)=ut(1+θ1L+θ2L2+…)其方差为Var(xt)=∑∞=0(iθi2Var(ut-i))=σu2∑∞=02iiθ很明显，虽然有限阶移动平均过程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件才能保证其平稳性。这条件就是{xt}的方差必须为有限值，即∑∞=02iiθ∞（第3版287页）（第3版288页）12.2时间序列模型的分类MA(q)过程中昀常见的是一阶移动平均过程，xt=(1+θ1L)ut其具有可逆性的条件是(1+θ1L)=0的根（绝对值）应大于1，即|1/θ1|1或|θ1|1。当|θ1|1时，MA(1)过程（12.14）可以变换为ut=(1+θ1L)-1xt=(1-θ1L+θ12L2-θ13L3+…）xt整理上式，xt=θ1xt-1-θ12xt-2+θ13xt-3+…+ut这是一个无限阶的以几何衰减为权数的自回归过程。对于MA(1)过程E(xt)=E(ut)+E(θ1ut-1)=0Var(xt)=Var(ut)+Var(θ1ut-1)=(1+θ12)σu2由MA(1)过程生成的时间序列见图。-4-202450100150200250300MA(1)注意：(1)对于AR(p)过程，不必考虑可逆性问题，只需考虑平稳性问题。条件是Φ(L)=0的根（绝对值）必须大于1。(2)对于MA(q)过程，不必考虑平稳性问题，只需考虑可逆性问题。条件是Θ(L)=0的根（绝对值）必须大于1。MA(1)时间序列（第3版288页）12.2时间序列模型的分类3.自回归移动平均过程由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q)，其中p,q分别表示自回归和移动平均分量的昀大滞后阶数。ARMA(p,q)的一般表达式是xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+ut+θ1ut-1+θ2ut-2+...+θqut-q或(1-φ1L-φ2L2-…-φpLp)xt=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)utΦ(L)xt=Θ(L)ut其中Φ(L)和Θ(L)分别表示关于L的p,q阶特征多项式，分别称为自回归算子和移动平均算子。ARMA(p,q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即Φ(L)=0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即Θ(L)=0的根取值应在单位圆之外。（第3版289页）12.2时间序列模型的分类以ARMA(1,1)为例，xt-φ1xt-1=ut+θ1ut-1或(1-φ1L)xt=(1+θ1L)ut很明显只有当-1φ11和-1θ11时，上述模型才是平稳的，可逆的。由ARMA(1,1)过程生成的时间序列见图。-6-4-2024650100150200250300ARMA(1,1)实际中对于非季节时间序列，ARMA(p,q)过程的昀高阶数一般各不会超过2。ARMA(1,1)时间序列（第3版289页）12.2时间序列模型的分类4.单积（整）自回归移动平均过程差分：用变量xt的当期值减去其滞后值从而得到新序列的计算方法称为差分。若减数为滞后一期变量则称为一阶差分，若减数为滞后k期变量则称为k阶差分。例如，对于随机过程xt，一阶差分可表示为xt-xt-1=Dxt=(1-L)xt=xt-Lxt其中D称为一阶差分算子。L是1阶滞后算子。k阶差分表示为xt-xt-k=Dkxt=(1-Lk)xt=xt-Lkxt2次1阶差分表示为D2xt=DDxt=Dxt-Dxt-1=(xt-xt-1)-(xt-1-xt-2)=xt-2xt-1+xt-2或D2xt=(1-L)2xt=(1-2L+L2)xt=xt-2xt-1+xt-2以上两式运算结果相同，说明差分算子和滞后算子可以直接参与运算。（第3版291页）12.2时间序列模型的分类若特征根恰好在单位圆上，这种根称为单位根。该过程也是非平稳的。但该过程的特点是经过相应次差分之后可以转化为一个平稳过程。虽然自然科学领域中的许多时间序列都是平稳的，但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的，即其均值与方差是随时间的变化而变化的。伯克斯—詹金斯（Box-Jenkins）积数十年理论与实践的研究指出，时间序列的非平稳性是多种多样的，然而幸运的是经济