变上限积分-N-L公式.

第二节微积分学基本定理作业习题3.2(A)2,3,4(odd),5,7,9,11,14(B)2,3,5,6一、问题的提出在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT).()()(aFbFdxxfba?猜测设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx变上限积分如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，二、变上限积分及其导数abxyo如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定理1(微积分第一基本定理)xx证)()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxxxxdttf)(xf)(],,[xxx)(limlim00fxxx),0(xx).(xf如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为推论)()()()(xaxafxbxbf证dttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF)()()()(xbxadttfdxdxF例1求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.ttftxfxd)()(0例2.证明在内为单调递增函数.证:20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0只要证0)(xF20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定义2.1(原函数)如果在区间I上有)()(xfxF一个原函数中的在为则称)()(IxfxF如果F（x)是f(x)在I中的一个原函数定理3(微积分第二基本定理)则F（x）+C是f(x)在I中的一切原函数关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C定理4（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.证三、牛顿—莱布尼茨公式)()(xfxFaFbFdttfba故)(xfxCxFxaFCax得令牛顿—莱布尼茨公式),()()(aFxFdttfxa)()()(aFbFdxxfbabaxF)(注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.例320)1sincos2(dxxx20cossin2xxx.23例4求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例5.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?解：例6.设求定积分为常数,,d)(10axxf设bxxf20d)(,则故应用积分法定此常数.任意常数积分号被积函数四、不定积分CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数f(x)的一切原函数F（x)+C的表达式，称为f(x)的不定积分，记为dxxf)(Cxdxx323CxxdxsincosCxdxxln1例如dxxf)(,)(])([dxxfdxxfddxxF)(.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.1、基本性质dxxgdxxfdxxgxf)()())()((dxxfkdxxkf)()(dxd),(xf,)(CxF2、基本积分表dxx)2(Cx111)1(dxx21Cx1dxx1Cx2dxx1)3(CxlnkCkxkdx()1(是常数);dxx211)4(;arctanCxdxxx2dxx25Cx125125.7227Cxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)8(;sinCxxdxsin)9(;cosCxxdx2cos)10(xdx2sec;tanCxdxex)6(;Cexdxax)7(;lnCaaxxdxxtansec)12(;secCxxdxxcotcsc)13(;cscCxshxdx)14(;Cchxchxdx)15(;Cshxxdx2sin)11(xdx2csc;cotCx例1求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxx2113xarctan3xarcsin2C例2求积分解.)1(122dxxxxx原积分dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx2112x例3求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例4求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx例5dxx2sin)1(2dxx2cos1xdxdxcos21Cxxsin2dxxxx422111)2(dxxxxx22221111dxxdxx221111Cxxx21lnarcsindxxxx22sincos2cos)3(dxxxxx2222sincossincosdxxdxx22cos1sin1Cxxtancot例6dxeaxx)1(dxaex)(Caeaex)ln()(dxxx)11(tan)2(22Cxxxarctantandxxx)111(sec22dxx3)1()3(dxxxx)331(32Cxxxx4324123已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy例73.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba四、小结4.不定积分CxFdxxf)()(思考题设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题解答dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx一、填空题：1、baxdxedxd22=_______.2、xadxxfdxd))((__________.3、223)1ln(xdtttdxd_______.4、20)(dxxf____，其中21,210,)(2xxxxxf.5、设,coscos1nxdxmxIdxnxmxsinsin，练习题（1）、当nm时，1I=__,2I=_____，（2）、当nm时，1I=___,2I=_____.6、设,sincosnxdxmx（1）、当nm时，3I=____,（2）、当nm时，3I=_____.7、94)1(dxxx_____.8、33121xdx_____.9、xdttxx020coslim________.二、求导数：1、设函数)(xyy由方程0cos00xyttdtdte所确定，求dxdy；2、设12122,ln,lnttuduuyuduux)1(t,求22dxyd；3、xxdttdxdcossin2)cos(；4、设2031)(xxdxxg，求)1(g.三、计算下列各定积分：1、2122)1(dxxx;2、212121xdx;3、012241133dxxxx;4、20sindxx.四、求下列极限：1、xtxtxdtedte022022)(lim;2、2502021)cos1(limxdttxx.五、设)(xf为连续函数，证明:xxtdtduufdttxtf000))(())((.六、求函数xdttttxf02113)(在区间1,0上的最大值与最小值.七、设时，或，当时，当xxxxxf000,sin21)(求xdttfx0)()（在),(内的表达式.八、设baxf,)(在上连续且,0)(xfxaxbtfdtdttfxF)()()(,证明：（1）、2)('xF;（2）、方程0)(xF在),(ba内有且仅有一个根.一、1、0；2、)()(afxf；3、)1ln(23xx；4、65；5、(1),；(2)0,0；7、;61458、6；9、1.二、1、1sincosxx；2、ttln212；3、)sincos()cos(sin2xxx；4、2.三、1、852；2、3；3、14；4、4.练习题答案四、1、0；2、101.六、335,0.七、xxxxx,10,)cos1(210,0)(.