2019高考数学二轮复习课件第一部分专题十一圆锥曲线的方程与性质课件

圆锥曲线的方程与性质题十二专卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8双曲线的几何性质·T5双曲线的几何性质·T11双曲线的几何性质·T11直线的方程及椭圆的几何性质·T12直线与抛物线的位置关系·T162017直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10双曲线的几何性质·T9双曲线的渐近线及标准方程·T5双曲线的几何性质·T15抛物线的定义及标准方程·T16椭圆的几何性质·T102016双曲线的几何性质与标准方程·T5双曲线的定义、离心率问题·T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题·T11抛物线与圆的综合问题·T10卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ纵向把握趋势卷Ⅰ3年6考，且每年都有2个小题同时出现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容．预计2019年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质横向把握重点1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.考法一圆锥曲线的定义与方程[题组全练]1.如图，椭圆x2a2＋y22＝1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解析：设|PF2|＝m，则|PF1|＋|PF2|＝2a，即m＋4＝2a.①在△PF1F2中，由余弦定理得42＋m2－2×m×4×cos120°＝4(a2－2)．②联立①②，解得a＝3.答案：B2．已知双曲线x24－y2b2＝1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A．x24－3y24＝1B．x24－4y23＝1C．x24－y24＝1D．x24－y212＝1解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±b2x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立x2＋y2＝4，y＝b2x，解得x＝44＋b2，y＝2b4＋b2或x＝－44＋b2，y＝－2b4＋b2，即第一象限的交点为44＋b2，2b4＋b2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1.答案：D3．(2018·唐山模拟)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝______.解析：设直线AB的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p2＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p2＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，其中x0，y0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，则2x＋1＋2＋y＝16，y2＝4x⇒x＝4，y＝4或x＝9，y＝－6(舍去)．所以点P的坐标为(4,4)．答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．考法二圆锥曲线的几何性质[由题知法][例1](2018·陕西质检)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．2D．5[解析]因为OM⊥PF，且M为FP的中点，所以△POF为等腰直角三角形，即∠PFO＝45°，则不妨令切线FM的方程为x＋y＝c，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a，所以e＝ca＝2.[答案]A[例2](2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14[解析]如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.[答案]D[例3]如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C．163D．203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝p24＝1，所以x2＝13，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为1|AF|＋1|BF|＝2p，|AF|＝4，所以|BF|＝43，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋43＝163.答案：C[类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值．③利用e＝1＋b2a2求离心率．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．3．抛物线焦点弦的性质若线段AB为抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)焦半径|AF|＝x1＋p2；(3)1|AF|＋1|BF|＝2p；(4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．32B．3C．23D．4解析：法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±13x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tanα＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝33x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，由y＝－3x－2，y＝33x，得x＝32，y＝32，所以M32，32，所以|OM|＝322＋322＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.答案：B2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若PM―→＝λMF―→，且双曲线的离心率e＝62，则λ＝()A．1B．2C．3D．4解析：如图，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根据射影定理得|PF|＝c2b，所以|PM|＝c2b－b，所以λ＝|PM―→||MF―→|＝c2b－bb＝c2－b2b2＝a2b2.因为e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝622＝32，所以b2a2＝12.所以λ＝2.答案：B3．已知椭圆x2＋y2b2＝1(0b1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B.过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)，当m＋n0时，椭圆的离心率的取值范围为()A．0，22B．14，22C．13，22D．25，22解析：由题意知F，B，C的坐标分别为(－c,0)，(0，b)，(1,0)，则FC，BC的垂直平分线分别为x＝1－c2，y－b2＝1bx－12，联立x＝1－c2，y－b2＝1bx－12，解得x＝1－c2，y＝b2－c2b.∴m＋n＝1－c2＋b2－c2b0，即b－bc＋b2－c0，整理得(1＋b)(b－c)0，∴bc，从而b2c2，即a22c2，∴e212，又e0，∴0e22.答案：A4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且FM―→＝3FP―→，则|FP―→|＝________.解析：过点P作PP1垂直准线于P1，由FM―→＝3FP―→，得|PM|＝2|PF|，又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|.由三角形相似得|PP1|p＝|PP1|2＝|MP||MF|＝23，所以|PP1|＝43，所以|FP―→|＝43.答案：43考法三直线与圆锥曲线的位置关系[多维例析]角度一直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1]已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为23.[解]依题意，设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，焦距为2c，由题设条件知，4a＝8，a＝2，2×12×2c×b＝23，b2＋c2＝a2＝4，所以b＝3，c＝1或b＝1，c＝3(经检验不合题意，舍去)，故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P(x0，y0)为