2019高考数学二轮复习课件第二部分第一板块学通考场解题常用12术第2术探求思路图作向导课件

选择题、填空题、解答题中均有应用，主要涉及函数最值、不等式、解析几何中范围等问题应用题型对题设条件不够明显的数学问题求解，注重考查相关的图形，巧用图形作向导是思维入手、领会题意的关键所在．尤其是对一些用函数、三角函数、不等式等形式给出的命题，其本身虽不带有图形，但我们可换个角度思考，设法构造相应的辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解．力争做到有图用图，无图想图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的途径．这就是我们常说的图解法方法概述应用一：求解函数问题[例1]用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7[解析]画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象如图所示，观察图象可知f(x)＝2x，0≤x2，x＋2，2≤x4，10－x，x≥4，所以f(x)的最大值在x＝4时取得，且为6.[答案]C[例2]设f(x)＝(x－2)2ex＋ae－x，g(x)＝2a|x－2|(e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(x)＝g(x)有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是()A．e22e－1，＋∞B．(e，＋∞)C．(1，e)D．1，e22e－1[解析]由f(x)＝g(x)，得|x－2|2e2x－2a|x－2|ex＋a2＝a2－a，即(|x－2|ex－a)2＝a2－a.所以|x－2|ex＝a±a2－a，其中a≤0或a≥1.设h(x)＝|x－2|ex，m1＝a＋a2－a，m2＝a－a2－a.①当x2时，h(x)＝(2－x)ex，h′(x)＝ex(1－x)．于是，当x1时，h′(x)0，则h(x)单调递增；当x1时，h′(x)0，则h(x)单调递减．由此可得，函数h(x)max＝h(1)＝e.所以0h(x)≤e.②当x2时，h(x)＝(x－2)ex，h′(x)＝ex(x－1)0.则h(x)在(2，＋∞)上单调递增，画出函数h(x)的大致图象如图所示．故方程f(x)＝g(x)有六个不等的实数解等价于直线y＝m1，y＝m2与曲线h(x)＝|x－2|ex各有三个交点．由图知，则需0a－a2－a，且a＋a2－ae.解得1ae22e－1.[答案]D应用二：求解不等式问题[例3]已知f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2][解析]分别作出f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0和y＝x2的图象如图所示．由图可知，f(x)≥x2的解集为[－1,1]．[答案]A应用三：求解平面向量问题[例4]设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.2－2C．－1D．1－2[解析]由于(a－c)·(b－c)＝－(a＋b)·c＋1，因此等价于求(a＋b)·c的最大值，这个最大值只有当向量a＋b与向量c同向共线时取得．由于a·b＝0，故a⊥b，如图所示，|a＋b|＝2，|c|＝1.当θ＝0时，(a＋b)·c取得最大值且最大值为2.故所求的最小值为1－2.[答案]D[例5]已知△ABC的三个顶点的坐标满足如下条件：向量OB―→＝(2,0)，OC―→＝(2,2)，CA―→＝(2cosα，2sinα)，则∠AOB的范围为__________．[解析]由|CA―→|＝2cosα2＋2sinα2＝2，可知点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O作圆的切线，切点分别为M，N，如图所示，连接CM，CN，则向量OA―→与OB―→的夹角θ的范围是[∠MOB，∠NOB]．由图可知∠COB＝π4，因为|OC―→|＝22，由|CM―→|＝|CN―→|＝12|OC―→|，知∠COM＝∠CON＝π6，所以∠BOM＝π4－π6＝π12，∠BON＝π4＋π6＝5π12，所以π12≤θ≤5π12，故∠AOB的范围为π12，5π12.[答案]π12，5π12应用四：求解解析几何问题[例6]已知F1，F2分别为双曲线x2－y26＝1的左、右焦点，点P为右支上一点，O为坐标原点．若向量OP―→＋OF2―→与PF2―→的夹角为120°，则点F2到直线PF1的距离为()A.3B.7C．23D.21[解析]如图，取PF2的中点M，连接OM，则OP―→＋OF2―→＝2OM―→，故〈OM―→，PF2―→〉＝120°，∠OMF2＝60°.因为O为F1F2的中点，所以OM∥PF1，所以∠F1PF2＝∠OMF2＝60°.在△F1PF2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，因为a＝1，b＝6，所以c＝7，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|，即cos60°＝m2＋n2－282mn＝12，整理得m2＋n2－mn＝28，所以m－n＝2，m2＋n2－mn＝28，解得m＝6，n＝4.过点F2作F2N⊥PF1于N，在Rt△PF2N中，|F2N|＝|PF2|·sin60°＝23，即点F2到直线PF1的距离为23.[答案]C[即时应用体验]1．定义在R上的函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且函数f(x＋1)是偶函数．若当x∈[0,1]时，f(x)＝sinπx2，则函数g(x)＝f(x)－e－|x|在区间[－2018，2018]上的零点个数为()A．2017B．2018C．4034D．4036解析：由y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，得f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)．因为当x∈[0,1]时，f(x)＝sinπx2，所以当x∈[－1,0]时，f(x)＝f(－x)＝－sinπx2.因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，故f(x)是周期为2的偶函数．作出函数y＝f(x)与函数y＝e－|x|的图象如图所示，可知每个周期内两个图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－e－|x|在区间[－2018,2018]上的零点个数为2018×2＝4036.答案：D2．在平面上，AB1―→⊥AB2―→，|OB1―→|＝|OB2―→|＝1，AP―→＝AB1―→＋AB2―→，若|OP―→|12，则|OA―→|的取值范围是()A．0，52B．52，72C．52，2D．72，2解析：根据AB1―→⊥AB2―→，AP―→＝AB1―→＋AB2―→，可知四边形AB1PB2是一个矩形．以A为坐标原点，AB1，AB2所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB1|＝a，|AB2|＝b.点O的坐标为(x，y)，点P(a，b)．∵|OB1―→|＝|OB2―→|＝1，∴x－a2＋y2＝1，x2＋y－b2＝1，变形为x－a2＝1－y2，y－b2＝1－x2.∵|OP―→|12，∴(x－a)2＋(y－b)214，∴1－x2＋1－y214，∴x2＋y274.①∵(x－a)2＋y2＝1，∴y2≤1.同理，x2≤1.∴x2＋y2≤2.②由①②可知：74x2＋y2≤2.∵|OA―→|＝x2＋y2，∴72|OA―→|≤2.答案：D3．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F(－c,0)(c0)，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE―→＝12(OF―→＋OP―→)，则双曲线的离心率为()A．102B．105C．10D．2解析：由题意可知E为FP的中点，且OE⊥FP.记F′为双曲线的右焦点，作出示意图如图所示，连接F′P，则F′P綊2OE，且FP⊥F′P，所以|F′P|＝a，由双曲线的定义可得|FP|＝3a.又FP⊥F′P，可得(2c)2＝10a2，所以e＝ca＝102.答案：A4．已知a0，b0，则不等式a1x－b的解是()A．－1a，1bB．1a，－1bC．－1b，0∪1a，＋∞D．－∞，－1b∪1a，＋∞解析：法一：直接求解法．－b1xa⇔1x＋b0，1x－a0⇔1＋bxx0，1－axx0⇔xbx＋10，x1－ax0⇔x0或x－1b，x1a或x0⇔x－1b或x1a，故选D.法二：数形结合法．利用y＝1x的图象，如图所示，故选D.答案：D5．已知关于x的方程|x|＝ax＋1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是__________．解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y＝|x|，y＝ax＋1，y＝x＋1的图象．由图可知，当直线y＝ax＋1的斜率a≥1时，直线y＝ax＋1与y＝|x|的图象有且仅有y轴左侧一个交点，即|x|＝ax＋1有一个负根，但没有正根．答案：[1，＋∞)6．已知a，b为单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是__________________．解析：令OA―→＝a，OB―→＝b，OD―→＝a＋b，OC―→＝c，如图所示，则|OD―→|＝2，又|c－a－b|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O，D共线时|OC―→|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c|的取值范围为[2－1，2＋1]．答案：[2－1，2＋1]