2019高考数学二轮复习课件第二部分第一板块学通考场解题常用12术第4术出奇制胜巧妙构造课件

出奇制胜巧妙构造4术第适用于各类题型，多涉及函数、方程、平面图形等知识应用题型构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质，运用已知数学关系式和理论，构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法．构造法应用的技巧是“定目标构造”，需从已知条件入手，紧扣要解决的问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题．解题时常构造函数、构造方程、构造平面图形等方法概述方法一：构造函数[例1]已知偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，其导函数是f′(x)．当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0，则关于x的不等式f(x)2fπ4·cosx的解集为()A．π4，π2B．－π2，－π4∪π4，π2C．－π4，0∪0，π4D．－π4，0∪π4，π2[解析]令F(x)＝fxcosx，则F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0，则F′(x)0，所以F(x)在0，π2上单调递减．因为F(－x)＝f－xcos－x＝fxcosx＝F(x)，所以F(x)为偶函数，所以F(x)在－π2，0上单调递增．当x∈－π2，π2时，cosx0，则f(x)2fπ4cosx等价于fxcosxfπ4cosπ4，即F(x)Fπ4，所以|x|π4，又x∈－π2，π2，所以－π2x－π4或π4xπ2.[答案]B[例2]已知m，n∈(2，e)，且1n2－1m2lnmn，则()A．mnB．mnC．m2＋1nD．m，n的大小关系不确定[解析]由不等式可得1n2－1m2lnm－lnn，即1n2＋lnn1m2＋lnm.设f(x)＝1x2＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－2x3＋1x＝x2－2x3.因为x∈(2，e)，所以f′(x)0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)f(m)，所以nm.[答案]A方法二：构造方程[例3]已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则1a2＋1b2＝__________.[解析]由题意可知a，b是方程x2－3x－1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知a＋b＝3，ab＝－1，所以1a2＋1b2＝a2＋b2a2b2＝a＋b2－2aba2b2＝32－2×(－1)＝11.[答案]11方法三：构造平面图形[例4]已知实数a，b是利用计算机产生的0～1之间的均匀随机数，设事件A为(a－1)2＋(b－1)214，则事件A发生的概率为()A.π16B．1－π16C.π4D．1－π4[答案]B[解析]由题意知，计算机产生的0～1之间的均匀随机数a，b的对应区域是边长为1的正方形，面积为1；事件A对应的区域是边长为1的正方形减去四分之一的圆（圆心为(1,1)，半径为12），如图所示，则事件A对应的区域的面积为1－π16.由几何概型的概率计算公式得事件A发生的概率为1－π16.[即时应用体验]1．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则ff52的值是()A．0B.12C．1D.52解析：由已知得fx＋1x＋1＝fxx，故构造函数g(x)＝fxx，则g(x＋1)＝fx＋1x＋1，所以g(x＋1)＝g(x)，即g(x)是周期为1的函数．又f(x)为偶函数，所以g(x)为奇函数．故再构造一个特例函数g(x)＝sin2πx(x∈R)，所以f(x)＝xsin2πx，从而有f52＝52sin5π＝0，故ff52＝f(0)＝0，因此选A.答案：A2．已知数列{an}，an＝2an－1＋n＋1，a1＝1(n∈N*)，则an＝__________.解析：由已知可得an＋n＋3＝2[an－1＋(n－1)＋3]．设bn＝an＋n＋3，则bn＝2bn－1，所以{bn}是公比为2的等比数列，且b1＝a1＋1＋3＝5，所以bn＝5×2n－1，所以an＝5×2n－1－n－3.答案：5×2n－1－n－33．已知不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n112loga(a－1)＋23对于一切大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为___________．解析：构造数列an＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n≥2，n∈N*)．∵an＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，∴an＋1－an＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋12n＋20，∴an＋1an，故an≥a2＝712，即an的最小值为712.要使1n＋1＋1n＋2＋…＋12n112loga(a－1)＋23对于一切自然数n(n≥2)都成立，则必有712112loga(a－1)＋23，即loga(a－1)－1.又因为a1，所以a－11a，解得1a1＋52，即实数a的取值范围是1，1＋52.答案：1，1＋524．函数f(x)＝x2－4x＋13＋x2－10x＋26的值域为__________．解析：f(x)＝x－22＋0－32＋x－52＋0－－12，其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)和N(5，－1)的距离之和(如图所示)，求其值域只要求其最值即可．易知当M，N，P三点共线(即P在线段MN上)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝|MN|＝5，f(x)无最大值，故得函数的值域为[5，＋∞)．答案：[5，＋∞)5．函数y＝sinxcosx－3的最大值和最小值分别为_____，_______.解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P(cosx，sinx)与定点Q(3,0)连线的斜率，为此构造一个单位圆，探究单位圆上动点P(cosx，sinx)与定点Q(3,0)连线的斜率问题．如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最小，设切点分别为R，M.易知kOR＝22，kOM＝－22，所以kQR＝－24，kQM＝24，所以－24≤kPQ≤24.即y＝sinxcosx－3的最大值为24，最小值为－24.答案：24－24