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专题15数形结合思想专题点拨数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；⑤构建立体几何模型研究代数问题；⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；⑦构建方程模型，求根的个数；⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：①准确画出函数图像，注意函数的定义域；②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．例题剖析一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．【变式训练1】已知函数f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．【例2】若实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)b－2a－1的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用【例3】若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．【例4】设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x＞0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为________．【例5】若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围．三、数形结合思想在平面解析几何中的应用【例6】已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|＋|CD|等于()A．10B．12C．14D．16巩固训练1．已知x，y满足约束条件x－y＋3≤03x＋y＋5≤0x＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值是________．2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式x[f(－x)－f(x)]0的解集为________．3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．4．若x∈()1，2时，不等式(x－1)2logax恒成立，则实数a的取值范围为________．5．已知函数f(x)＝{－x2＋2x，x≤0，ln（x＋1），x0，若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是________.二、选择题6．若不等式logaxsin2x(a0，a≠1)对任意x∈(0，π4)都成立，则实数a的取值范围为()A．(0，π4)B．(0，π4]C．[π4，1)D．(π4，1)7．已知y＝f(x)是最小正周期为2的函数，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)(x∈R)图像与y＝|log5|x||图像的交点的个数是()A．8B．9C．10D．12三、解答题8.已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1，x≥0，－x2＋bx＋c，x0是偶函数，直线y＝t与函数f(x)的图像自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若||AB＝||BC，求实数t的值．