交大附中二轮讲义2019届高三2轮复习核心板块5立体几何学生

【核心板块5】立体几何中的角与距离【知识提要】1、理解直线和平面所成角的定义，抓住“斜线和斜线在平面内的射影所成的角”这一关键，直线和平面所成角的范围是]2,0[，斜线和平面所成角的范围是)2,0(；同时要注意线和平面所成的角是转化为线和线所成的角来解决的；2、理解二面角、二面角的平面角的概念；二面角的大小确定方法有：1、定义法；2、三垂线法；3、面积射影定理；4、空间向量.3、各种角的范围：二面角的取值范围180,0；直线与直线所成角90,0；斜线与平面成角90,0；直线与平面所成角90,0；向量与向量所成角[0,180]。4、⑴最小角定理：21coscoscos（1为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.5、夹角向量求法1）异面直线CDAB,所成的角（范围：20）coscos,.ABCDABCDABCD2）线面角（范围：20），sincos,ananan3）二面角（范围：0）ABCD21,nn21,nn1212cosnnnn1212cosnnnn图1θθ1θ2图26、距离向量求法1）点A到点B的距离：222)()()(BABABAzzyyxxAB2)点A到线l的距离d.在直线l上任取点B，aABaABaAB,coscos，2cos1sin，sinABd3）点A到面的距离d。在平面上任取点B，nABnABnAB,coscos，cosABndABn4）异面直线间ml,间的距离d。在直线l上任取点A，在直线m上任取点B，向量n与异面直线ml,的方向向量ba,都垂直nABnABnAB,coscos，cosABndABn5）直线l到平面的距离在直线l上任取一点A，转化为点A到面的距离d6）平面到平面的距离在平面上任取一点A，转化为点A到面的距离d【例题分析】例1正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB中点，则异面直线DE与BD1所成角的大小为＿＿＿＿＿＿.例2正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.例3若一正三棱锥的底面边长是a，体积为1233a，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为＿＿＿＿；侧面与底面所成二面角的大小为＿＿＿＿；此三棱锥的侧面积为＿＿＿＿.例4如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线BE与CD1所成角的大小为＿＿＿.例5在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，ABC90°，SA平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝21.（1）求四棱锥S－ABCD的体积；（2）求SC与AB所成角的大小.例6如图在正三角形ABC中，D、E、F分别是各边的中点，G、H、I分别是DE、FC、EF的中点.将三角形ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，BG与IH所成角的大小为――（）A、6；B、3；C、32arccos；D、33arccos.BDEFHICGAABCA1B1C1EABCDA1B1C1D1EF例7下面的一组图形为一四棱锥S－ABCD的侧面与底面.（1）请画出四棱锥S－ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.（2）求出此四棱锥的体积；（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形ABCD的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF与最短侧棱所成角的大小.例8如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=2,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长.例9已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于．[来源:学科网ZXXK]（1）当60时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥MACO的体积最大时，求的值．aa2aaaaaaABCDaaaa2SABCDEF例10如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18365B.54185C.90D.81例11在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6πD.32π3例12如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）.A.17πB.18πC.20πD.28π例13如图,点CBA,,确定的平面与点FED,,确定的平面相交于直线l,且直线AB与直线l相交于点G,直线EF与直线l相交于点H,试作出面ABD与面CEF的交线．例14正方体的截平面不可能是：(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形；下述选项正确的是：()A.(1)(2)(5)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(3)(4)(5)例15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1俯视图侧（左）视图1111正（主）视图【巩固练习】1.如图，在直三棱柱111ABCABC中，0190,2,1ACBAAACBC，则异面直线1AB与AC所成角的余弦值是____________．2.在一个棱长为cm65的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则它到第四个面的距离为_____________cm3.三棱锥SABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥SABC分成两部分的体积之比为.4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距离为_________________5.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.6.已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．36B．34C．22D．327.顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’D’中，AB＝1，AA’＝，则A、C两点间的球面距离为ABCD（第3题图）SBACEHGF8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于A.45°B.60°C.90°D.120°9.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距离为A.3B.22C.32D.5510.如图，在直三棱柱111CBAABC中，90ACB，21AA，1BCAC，则异面直线BA1与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．1CCB1B1AA11.如图所示，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是矩形，1AB，2BC，12AA，E是侧棱1BB的中点．（1）求证：1AE平面AED；（2）求二面角1AADE的大小．12.如图，在体积为3的正三棱锥BCDA中，BD长为23，E为棱BC的中点，求（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥BCDA的表面积．[来源:学科网ZXXK]13.如图，△ABC中，090ACB，030ABC，3BC，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．