人教版高考数学二轮总复习讲义课件第二部分应试高分策略学生阅读第1讲第1课时

第1讲数学思想方法第1课时函数与方程思想、数形结合思想第二部分应试高分策略一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系第二部分应试高分策略(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．[解](1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－2a＝－2，所以a＝1.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－10，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)xh(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．[名师点评]本题第(2)问证明的关键是构造函数g(x)＝f(x)－kx＋2，利用导数判定g(x)的单调性，进而说明两曲线的交点．1．已知正四棱锥S­ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1B.3C．2D．3C解析：设正四棱锥S­ABCD的底面边长为a(a0)，则高h＝SA2－2a22＝12－a22，所以体积V＝13a2h＝1312a4－12a6.设y＝12a4－12a6(a0)，则y′＝48a3－3a5.令y′0，得0a4；令y′0，得a4.故函数y在(0，4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a＝4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h＝12－a22＝2，故选C.(2015·大连统考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线3x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A.12B.3－12C.32D.3－1[解析]设F(－c，0)，A(m，n)，则nm＋c×（－3）＝－1，3×m－c2＋n2＝0，解得Ac2，32c，D代入椭圆方程中，有c24a2＋3c24b2＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以c4－8a2c2＋4a4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，所以e2＝4±23，所以e＝3－1或e＝3＋1(舍去)．[名师点评]本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b，c的关系式，求值试题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式．2．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即a＝1.1二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．[解析]由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．(0，2)[名师点评]利用数形结合探究方程解的问题应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．3．若不等式|x－2a|≥12x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是______________．解析：作出y＝|x－2a|和y＝12x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤12.－∞，12(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4[解析]根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.B[名师点评](1)本题利用数形结合思想求最值，把m的值转化为圆上的点到原点的距离．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.22解析：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示，设OC→＝c，OA→＝a，OB→＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，即AC→⊥BC→.又OA→⊥OB→，所以O，A，C，B四点共圆．当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为2.C本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放