高三文数第二轮复习三角形嵌套专题

——方程思想在解三角形中的应用三角形嵌套专题顺德第一中学刘贵课程前言解三角形是高中数学的重要内容,也是高考的一个热点.解三角形问题本质就是充分利用正弦定理和余弦定理,恰当进行边与角的互化,求三角形的边或角的问题.但高考通常很少考查单个三角形，而是一个图形中涉及到多个三角形，我们把它称之为“三角形嵌套”问题。在这类问题中，有部分是可以逐个单独求解的，但还有一部分不能直接根据已知的边与角利用正弦定理、余弦定理单独求解,那么这个时候应该怎么办呢？这就是我们这节课重点要探究的。知识回顾要求：会熟练求解单个三角形(1)(2)(3)(4)已知三边，用余弦定理求三个角——有1解已知两边夹角，用余弦定理求第三边——有1解余弦定理求第三边已知两边对角，用——不定解正弦定理求另一边对角已知两角一边，用正弦定理求其它边——有1解知三求三课前热身2,23=45.ABCABACBCDBCADCAD例1：如图，在中，，点在边上，，求长度22231cossin222BCACABCCBCAC由余弦定理得sin2sinACDACADCADC在中由正弦定理得2,23ABCABACBC在中，，由余解析：弦定理得存在单个三角形可解课前热身1,8,cos=37(1)sin;(2),.ABCBABDBCADCBADBDAC训1：如图，在中，点在边上，，求求的长度41133sinsin()sincoscossin33727214BADADCBADCBADCB(2)83sin334sin1437ABDABBDBADADB在中由正弦定理得14cossin377ADCADCADC(1)在中，解，析：，2222cos497ABCACABBCABBCBAC在中由余弦定理得解题关键：（1）存在某个三角形可解，可先突破；（2）将未知量放入某个三角形中求解存在单个三角形可解5835构建模型25835________.ACBDABCDkmABBCCDDAABCDACkm例如图，为了测量，两点间的距离，选取同一平面上，两点，测出四边形各边的长度单位：：＝，＝，＝，＝，，，，四点共圆，则的长为思考1：图中两个三角形均只有两个条件，不能单独求解。怎么办？单个三角形不可解设参：边或角解析：因为A，B，C，D四点共圆D＋B＝π设AC=xx22253cos235xACDD中，由余弦定理得22258cos285xABCB中，由余弦定理得222222coscos53587235285BDDBxxx思考2：设边x后，你是如何找到关于边x的方程的？利用D＋B＝π思考：设角后，你是如何找到关于角的方程的？5835构建模型________.ACDSkm：题目同变式思考面上则的积，单个三角形不可解解析：因为A，B，C，D四点共圆D＋B＝π11sin53sin22ACDSADCDDD利用公共边AC,=DB设则22222235235cos58258cos()ACDACABCAC在中由余弦定理得在中由余弦定理得222235235cos58+258cos1cos21201534构建模型单个三角形不可解如果图形中单个三角形均不可求解时，可引入一个参数：x边或角(1)设边——可利用两个三角形内角度的关系(比如：相等、互补、互余等)找关于边的方程。(2)设角——可利用两个三角形内边的关系(比如：公共边、相等、成比例等)找关于角的方程。再利用方程思想求解。举一反三单个三角形不可解3.,2.sin21.21,sin2ABCDBCADBACABDADCBADDCBDACC例中，是上的点，平分面积是的倍（）求（）若,求和的长.CDABsin1sin2BACABCCAB在中由正弦定理得(2)2ACxABx设，则1222x2x22232()(2)2cos32222xxCxABC中2222()12cos222xCxACD中=举一反三单个三角形不可解3.,2.sin21.21,sin2ABCDBCADBACABDADCBADDCBDACC例中，是上的点，平分面积是的倍（）求（）若,求和的长.CDAB1222x2x222(2)(2)1cos222xBx22232(2)()2cos32222xxBxABD中解2：ABC中2221(2)(2)cos221x22221()2cos2212xABD中解3：ABC中思考：你还能有其它方法构造关于x的方程吗？B举一反三单个三角形不可解4.903,1,,90.11,.22150,tanABCABCABBCPABCBPCPBPAAPBAPB例中，，为内一点（）若求（）若求的值.160302RtPBCBPPBCPBA在中2221193(3)+()23cos302242PBAPAPA在中由余弦定理得(1)903,1,30,60,2ABCABBCBACBCAAC解析，：举一反三单个三角形不可解4.903,1,,90.11,.22150,tanABCABCABBCPABCBPCPBPAAPBABP例中，，为内一点（）若求（）若求的值.(2)ABP设123150120利用公共边PC构造方程22=sinsinsin120sin120PCAPCPC在中由正弦定理得c1osRtPBCPC解在中：得利用公共边PB构造方程s2inRtPBCPB解在中：得3=sin(30)sin150APBPB又在中由正弦定理得23sincostansin12043sin(30)sinsin150两角差正弦公式23(sin30coscos30sin)sin33cos4sintan4试一试：利用公共边PA构造方程.举一反三单个三角形不可解思考：如何构造关于t的方程？5.,1,15,30,ABCDEBCBDDEECBADEADABC例中，在边上，若则的面积为CDAB1E1115°30°11sinsinsin15sin30ABDADEABAE在和中由正弦定理分别得和解一：(设边)sin302sin1531ABAE22222222(31)41cos45222(31)23ABEABAEBEtttABAEtt在中由余弦定理得2,(31)ABtAEt设2t(31)t113sin4522ABESABAE33(13)24ABCABESS举一反三单个三角形不可解5.,1,15,30,ABCDEBCBDDEECBADEADABC例中，在边上，若则的面积为CDAB1E1115°30°ABC设解二：(设角)13511sinsin(135)sin15sin30ABDADEADAD在和中由正弦定理分别得和－思考：如何构造关于的方程？利用公共边AD构造方程11sinsin(135)sin15sin30－sin2=sin3062AD3tan303两角差正弦公式展开11sin13522(31)ABDSBDAD3(13)34ABCABDSS课堂小结(1).(2). ——三角形嵌套问题:1.存在单个三角形可解2.不存在单个三角形设存在某个三角形可解，可先突破；将未知量放入某个三角形中求解；利用两个三角形内角度的关系（相等、互补、互余等）找关于边的方程；利用两个三角形内边长的关系（相等、成比例等）找关于边的方程；边设角数学思想：方程思想THANKS