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第3课时因数和倍数考点一因数和倍数1．因数和倍数的定义：若a÷b＝c(a、b、c均为整数，且b≠0)，则a是b和c的倍数，b和c是a的因数。2．因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。3．求一个数的倍数的方法：用这个数乘1，2，3，4，…，所得的积都是这个数的倍数。4．求一个数的因数的方法：用乘法算式把一个数写成另两个自然数乘积的形式，那么这两个自然数就是这个数的因数。温馨提示：倍数和因数是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。在研究因数、倍数时涉及的数为自然数，一般不包括0。考点二公因数和公倍数1．公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。2．公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。3．求几个数的最大公因数和最小公倍数联系区别最大公因数最大公因数是把公有的质因数相乘最小公倍数用它们的公因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止最小公倍数是把公有的质因数和商相乘温馨提示：如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数成倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。考点三2，5，3的倍数的特征1．2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。2．5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。3．3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。4．同时是2和3的倍数的数，个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的数，个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字之和是3的倍数；同时是2和5的倍数的数，个位上的数是0；同时是2，3，5的倍数的数，个位上的数是0，并且各个数位上的数字之和是3的倍数。考点四奇数和偶数1．奇数：整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。2．偶数：整数中，是2的倍数的数叫做偶数。3．奇数和偶数的性质奇＋奇＝偶，奇－奇＝偶，奇×奇＝奇；偶＋偶＝偶，偶－偶＝偶，偶×偶＝偶；奇＋偶＝奇，奇－偶＝奇，偶－奇＝奇，奇×偶＝偶。温馨提示：①一个自然数不是奇数就是偶数，0也是偶数。②相邻两个奇数或两个偶数之间相差2。③如果设n是自然数，那么奇数表示为2n＋1，偶数表示为2n。考点五质数、合数、互质数、分解质因数1．质数：一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数或素数。2．合数：一个数如果除了1和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。3．互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。4．分解质因数：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。温馨提示：①1既不是质数也不是合数。②最小的质数是2，最小的合数是4。③2是偶数中唯一的质数，没有最大的质数和最大的合数。④在分解质因数时，几个相乘的数必须都是质数，不能出现合数和1，并且把合数写在等号左边，几个质因数写在等号右边。如把12分解质因数是12＝3×2×2，而不能写成12＝3×4或3×2×2＝12。【例1】填空。一个四位数，个位上的数既不是质数也不是合数，十位上的数是质数也是偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是奇数又是合数，这个四位数是()。☞思路点拨本题考查质数、合数、奇数、偶数的概念。根据题目中的已知条件，只要确定四个数位上的数即可。1既不是质数也不是合数，既是质数也是偶数的数是2，最小的合数是4，既是奇数又是合数的一位数是9，所以这个数是9421。【解】9421【例2】在下面的□里分别填上一个合适的数字。(1)117□既是3的倍数，又是5的倍数。(2)249□既是2的倍数，又是3的倍数。☞思路点拨本题考查的是2，3，5的倍数的特征。（1）一个数各个数位上的数加起来能被3整除，这个数就是3的倍数，1＋1＋7＝9，已经是3的倍数；一个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数，所以□里填0。（2）个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；各个数位上的数加起来能被3整除的数就是3的倍数，2＋4＋9＝15。因为15＋0＝15，15＋6＝21，15和21是3的倍数，所以□里填0或6。【解】(1)0(2)0或6【例3】盒子里有36枚棋子，如果不能一次拿出，也不能一枚一枚地拿出，但每次拿出的数量要相同，最后一次正好拿完。共有几种拿法？分别怎样拿？☞思路点拨本题考查的是因数与倍数的应用。根据题意，把36写成两个数的乘积，两个数可以分别是拿的次数和每次拿的数量，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，因为不能一次拿出，也不能一枚一枚地拿出，所以共有7种拿法。【解】共有7种拿法。①每次拿2枚，拿18次；②每次拿18枚，拿2次；③每次拿3枚，拿12次；④每次拿12枚，拿3次；⑤每次拿4枚，拿9次；⑥每次拿9枚，拿4次；⑦每次拿6枚，拿6次。【例4】两根绳子，一根长80分米，另一根长96分米，要把这两根绳子剪成同样长的小段，每段最长是多少分米？一共可以剪几段？☞思路点拨本题考查最大公因数的应用。两根不一样长的绳子，要剪成同样长的小段，又要求每小段最长，且没有剩余，实际上是求这两根绳子长度的最大公因数，每段长多少求出来以后，再分别算出每根绳各剪成几段，然后相加即可。【解】80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80；96的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96。80和96的最大公因数是16，即每段最长是16分米。80÷16＝5(段)96÷16＝6(段)6＋5＝11(段)答：每段最长是16分米，一共可以剪11段。温馨提示：本题还可以用短除法解答，如下：80和96的最大公因数是4×4＝16，则每段最长是16分米。80÷16＝5(段)96÷16＝6(段)6＋5＝11(段)【例5】一块正方形布料，既可以做成边长是18厘米的小正方形手帕，又可以做成边长是30厘米的大正方形手帕，都没有剩余。这块正方形布料的边长至少是多少厘米？☞思路点拨本题主要考查最小公倍数的应用。这块正方形布料分别做成边长是18厘米和30厘米的正方形手帕，都没有剩余，说明这块布料的边长既是18的倍数，又是30的倍数，又因为要求布料的边长至少是多少厘米，就是求18和30的最小公倍数。【解】18的倍数有18，36，54，72，90，108，…30的倍数有30，60，90，120，…18和30的最小公倍数是90，所以这块正方形布料的边长至少是90厘米。答：这块正方形布料的边长至少是90厘米。【例6】选择。把90分解质因数，正确的形式是()。A．90＝2×5×9B．90＝3×3×2×5×1C．90＝2×3×3×5D．2×3×5×3＝90☞思路点拨本题考查分解质因数。分解质因数是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，而A、B项中的9和1不是质因数，D项中把等号两边数的位置写反了，写法错误，只有C项正确。【解】C课时训练一、填空。(每空1分，共37分)1．在自然数范围内，最小的质数是(2)，最小的合数是(4)，最小的奇数是(1)，最小的偶数是(0)，最小的自然数是(0)。2．20以内不是偶数的合数是(9和15)，不是奇数的质数是(2)。3．一个数的最大因数是18，这个数是(18)，把它分解质因数是(18＝2×3×3)。4．在()里填上合适的质数。(4分)10＝(3)＋(7)＝(2)＋(3)＋(5)21＝(2)＋(19)＝(23)－(2)5．按要求在下面每个数的里填上一个数字。2的倍数：3103的倍数：1445的倍数：902，3，5的倍数：120(以上各题答案均不唯一)6．12921531011530上面一组数中，奇数有(9，21，5，3，1，15)，偶数有(12，10，30)，2和3的倍数有(12，30)，30的因数有(5，3，10，1，15，30)，质数有(5，3)，合数有(12，9，21，10，15，30)。7．不计算，判断下面的算式的结果是奇数还是偶数，写在()里。28596＋12345(奇数)2016×2017(偶数)8．一个质数P，它有(2)个因数，是(1)和(P)；一个合数Q至少有(3)个因数，最小的是(1)，最大的是(Q)。9．把自然数a和b分解质因数得到a＝2×5×7×m，b＝3×5×m。如果a和b的最小公倍数是2730，那么m＝(13)。[提示：5×m×2×7×3＝2730]10．边长为12厘米的正方形纸，可以剪成(36)个面积为4平方厘米的小正方形。11．如果a＝4b，a、b都是大于0的自然数，那么a、b的最小公倍数是(a)，最大公因数是(b)。12．两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144，则这两个数分别是(36)和(48)。[提示：144＝12×3×412×3＝3612×4＝48]二、判断。(对的画“√”，错的画“×”)(8分)1．因为24÷6＝4，所以24是倍数，4是因数。(×)2．两个合数一定不是互质数。(×)3．一个数的倍数一定大于这个数的因数。(×)4．任意两个相邻自然数中一定有一个是奇数。(√)5．2的倍数都是合数。(×)6．自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。(×)7．一个数的因数是无限的，一个数的倍数是有限的。(×)8．用5，6，7这三个数字组成的三位数一定是3的倍数。(√)三、选择。(把正确答案的序号填在括号里)(16分)1．把140分解质因数是(C)。A．2×2×5×7＝140B．140＝4×5×7C．140＝2×2×5×7D．140＝2×2×5×7×12．一个数既是8的倍数，又是8的因数，这个数是(B)。A．1B．8C．24D．643．把数a分解质因数是a＝2×2×3，把数b分解质因数是b＝2×3×5，数a和数b的最大公因数是(C)，最小公倍数是(D)。A．2B．4C．6D．604．两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是(C)的倍数。A．3B．4C．5D．65．如果a表示非0的自然数，那么2a一定是(B)。A．奇数B．偶数C．质数D．合数6．已知M÷N＝0.1(M、N为自然数)，M和N的最大公因数是(A)。A．MB．NC．10D．以上答案都不对7．古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数(本身除外)相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，6＝1＋2＋3，恰好是除本身外的所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是(B)。A．12B．28C．36D．408．烟火晚会上每6秒出现一次星星图案的礼花，每10秒出现一次花朵图案的礼花，在同时看到这两种礼花后，至少还要经过(A)秒才可以再次同时看到这两种礼花。A．30B．16C．60D．18四、求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。(8分)8和917和51最大公因数：1最大公因数：17最小公倍数：72最小公倍数：5136和4824和30最大公因数：12最大公因数：6最小公倍数：144最小公倍数：120五、解决问题。(31分)1．佳佳把家里电脑的开机密码(ABCDEF)给忘了，你来根据下面的信息帮帮她吧。(6分)A：5的最小倍数B：8的最大因数C：表示一个数也没有D：是2的倍数，又是3的倍数E：最小的合数F：既是偶数又是质数5806422．有两根铁丝，一根长48厘米，另一根长60厘米，要截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长为多少厘米？一共可以截成几段？(6分)因为48和60的最大公因数为12，所以每段最长为12厘米。48÷12＝4(段)60÷12＝5(段)4＋5＝9(段)答：每段最长为12厘米，一共可以截成9段。3．有一堆糖果，2颗2颗地分少1颗，3颗3颗地分多2颗，7颗7颗地分多6颗，这堆糖果至少有多少颗？(6分)3颗3颗地分2颗，也就是少1颗，7颗7颗地分多6颗，也就是少1颗。因此，2颗2颗地分、3颗3颗地分和7颗7颗地分都是少1颗。2×3×7－1＝41(颗)答：这堆糖果至少有41颗。4．张大爷家有一块长方形菜地，菜地的