趋势时间序列模型及其应用

趋势时间序列模型及其应用摘要：针对非平稳时间序列的趋势性变化特点，可建立包含确定性时间趋势的时间序列模型，确定性时间趋势的残差项由ARIMA(p,d,q)模型拟合。并做实际预测，进行了趋势残差项的周期谱分析，确定出随机扰动的波动周期。关键词：非平稳时间序列；时间趋势；随机扰动；时间序列模型；波动周期1引言序列非平稳性的表现具有多样性和复杂性，化非平稳时间序列为平稳时间序列的方法也是多样的，常用的方法有：Ⅰ差分对序列做d阶差分，B为延迟算子，B=，，一阶差分算子∇=1-B，tyty1−tykttkyyB−=tdtdyBy)1(−=∇d阶差分后，序列成为平稳序列。若是含有周期为T的波动序列，可做季节差分，以表示季节差分，tdy∇tyT∇TtttTyyy−−=∇，序列tTy∇成为平稳序列。Ⅱ对数变换与差分时间序列的变化常呈现出一定的趋势，如线性趋势或指数趋势，此类趋势函数f(t)具有特定的形式，称此类时间序列具有确定性趋势。若含有指数趋势，可先对取对数，再进行差分运算，得到平稳序列：。tytytdylog∇结合我国月外汇储备的时间序列数据（1993.1—2002.9），进行了ARIMA模型的拟合。叶阿忠、李子奈[1]采用我国外汇储备与通货膨胀（居民消费价格指数）的月度数据，建立了高预测精度的通货膨胀的回归—时间序列组合模型（含解释变量），据此可进行结构、预测分析。实践中碰到的时间序列yt常为非平稳时间序列，如美国名义GNP（1947—1987）有着明显的指数向上的趋势，文献[2]给出了确定此类经济增长的一般性方法：(1-B)log(yt)={1+(ylogt-yt-1)/yt-1}≈(yt-yt-1)/yt-1（1）B为延迟算子。我国月外汇储备（图1，1993.1—2002.9）指数趋势不明显，∇log(yt)（图2）及其二阶差分log(y2∇t)表现为非平稳性，折线图2在1994-1995区间呈现出较大的波动，这与当时一定程度的通货膨胀有关。对此，本文采用含多项式拟合确定性时间趋势的时间序列模型。此模型相对于回归—时间序列组合模型，突出了时间序列随时间增长的内在趋势，较对数变换与差分方法，给出了化非平稳时间序列为平稳的有效方法。其后，确定随机扰动tε的波动周期，加深了对短期波动的认识。2含确定性时间趋势的时间序列模型1若有趋势性变化，而f(t)不宜设定为指数函数或其它特定的函数形式时，可设f(t)为多项式函数。对剔除f(t)的序列做差分，得到平稳序列：，d为非负整数。ty))((tfytd−∇由于时间序列yt变化的复杂性，有时不易用解释变量予以解释，为了突出yt随时间变化的内在趋势，假定时间序列模型如下：yt=f(t)+tε（2）ttdBBBηθεϕ)()1)((=−（3）其中用以刻画y∑=+=niiittf10)(ααt的内在趋势，tε是随机扰动项；，是白噪声序列。ppBBBBϕϕϕϕ−−−−=L2211)(tqqBBBBηθθθθ,1)(221−−−−=L应用时，先由（2）得到的估计，再由（2）的残差序列y)(tf∧)(tft-建立∧)(tfARIMA模型（3），yt的预测值为：∧ty=+∧ty∧)(tf∧tε其中为∧tεtε的估计，由（3）确定。∧tε3随机扰动的周期谱分析设tε为平稳序列，将tε看作ωcos(t)和sin(ωt)形式的周期函数的加权和，其中ω表示一个特定的频率：∑=++=zkkkkkttbtaa10)]sin()cos([2/ωωε其中，若样本采样值个数N为偶数，z=N/2，若N为奇数，z=（N-1）/2；Nkk/2πω=。周期图定义为：kJ)(222kkkbaNJ+=，k=1，…，z。tε的谱密度估计定义为：，∑−=+=hhjjkkWjJF其中，是对称权函数，或称为谱窗。可取jW2)1(1+−+=hjhcWj，c为常数，h远比N/2小。密度估计是通过平滑周期图而产生的，周期图或谱密度达到峰值处为平稳序列的最可能周期。4我国外汇储备的时间序列模型及随机扰动的周期谱分析2本文采用1993.1到2002.9共117个外汇储备月度数据（亿美元）。利用前114个外汇储备月度数据，得到模型（2）的估计：iiittf)100()(410∑=∧∧∧+=αα，i=1，…，114(4)其中，260.90，-2082.05，17515，-25474，11571。=∧0α=∧1α=∧2α=∧3α=∧4α(4)式的方差分析及参数估计见表1、表2，R2=0.9963，系数(i=0，…，4)的T检验统计量的绝对值均大于9，Prob|T|均为0.0001，系数检验达极显著水平。∧iα为了提高拟合精度，对残差序列yt-做d阶差分，分析其自相关函数和偏相关函数，并对初步确定的p,q阶进行试算。利用由条件最小二乘法得到的白噪声残差检验，识别残差序列为ARIMA（4，1，0），即有：∧)(tf（1-0.41289B-0.21161B3+0.26892B4）(1-B)ttηε=(5)残差序列的白噪声检验应用Ljung-Box的统计量：∧tη2χ∑=−+=mkkmkNNN122)2(γχ，∑∑=∧−=+∧∧=NiikNikiik121ηηηγ，mi,,1L=。给定显著水平α，假设检验为：kHmkHkk对某些,0:;,0:10≠≤=ρρ。p值为：值是实际算得的220202},{χχχχ≥=Pp。在，对充分大的N，近似服从（m-r）分布，其中r是估计的模型参数个数。当成立时0H2χ2χ0,Hp接受α≥，认为是白噪声序列。∧tη表3、表4表明，（5）式中自回归参数估计值的TRatio的绝对值均大于2.22，残差序列的p值均不小于0.597，故为白噪声序列，模型检验通过。∧tη∧tη利用117个外汇储备月度数据进行tε的谱分析，频率个数是58，记P_01为周期图，S_01为谱密度估计。表5给出了部分频率的周期图及谱密度估计，周期(PERIOD)为39的周期图P_01=51195.34，谱密度估计S_01=2139.38，实际上，周期39也是58个频率中周期图的最大周期（限于篇幅未列出其它计算结果）。因此在一定时期内，我国外汇储备的随机扰动存在约39个月的波动周期。利用前114个外汇储备月度数据建立模型，对最后3个月（即115、116、117号数据）3进行预测。表6给出了我国月外汇储备的趋势预测值及含确定性时间趋势的时间序列模型预测值+，结果表明趋势时间序列模型预测值+的相对精度优于趋势预测值。∧)(tf∧)(tf∧tε∧)(tf∧tε∧)(tf表1时间趋势的方差分析∧)(tfSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValueProbFModel441761485.91910440371.487392.3890.0001Error109153942.190121412.31367CTotal11341915428.109RootMSE37.58076R-square0.9963DepMean1144.37333AdjR-sq0.9962C.V.3.28396表2时间趋势的参数估计∧)(tfParameterStandardTforH0:VariableDFEstimateErrorParameter=0Prob|T|INTERCEP1260.89907518.5671550714.0520.0001T1-2082.045293221.63740873-9.3940.0001T2117515778.9010958622.4860.0001T31-254741015.5451108-25.0840.0001T4111571438.1416467326.4080.0001(其中,T=t/100,T2=T*T,T3=T2*T,T4=T3*T)。表3ARIMA模型的参数估计(条件最小二乘估计)Approx.ParameterEstimateStdErrorTRatioLagAR1,10.412890.087364.731AR1,20.211610.094842.233AR1,3-0.268920.09501-2.834表4ARIMA模型的的白噪声残差检验4ToChiAutocorrelationsLagSquareDFProb60.1830.980-0.0080.009-0.0180.028-0.005-0.016123.8290.923-0.061-0.0030.072-0.044-0.0770.1091813.07150.597-0.189-0.0260.008-0.110-0.107-0.0982418.63210.609-0.010-0.0800.013-0.114-0.0060.138表5随机扰动tε的周期谱分析OBSFREQPERIODP_01S_0110.00000.0.001141.2620.05370117.000153.471309.2330.1074058.50031384.661798.5840.1611139.00051195.342139.3850.2148129.25033925.612009.6160.2685123.40013729.201544.0770.3222119.5001516.08974.02表6趋势预测与趋势时间序列模型预测年月实际值相对误差(%)+相对误差(%)∧)(tf∧)(tf∧tε2002.72465.342523.902.3752494.691.1902002.82530.902601.302.7812565.411.3632002.92586.302683.103.7432643.912.227X0100020003000DATEJAN93JAN94JAN95JAN96JAN97JAN98JAN99JAN00JAN01JAN02JAN03图1我国月外汇储备的时间序列数据（1993.1—2002.9）5图2我国月外汇储备时间序列数据的对数一阶差分数据5结论差分是平稳化一个时间序列的简明方法，一般对序列进行一阶至二阶差分可达到平稳性要求。缺点是差分倾向于增加变异，减弱估计和预测精度，因此低阶差分不能达到平稳性要求时，可采用确定时间趋势的方法确定残差序列，再依此残差序列进行ARIMA（p，d，q）模型的拟合。单纯估计模型yt=f(t)+tε（2），仅在f(t)及误差项tε满足线性回归模型的基本假定下，回归系数的估计才具稳健性，因此先估计通过假设检验的，再由ARIMA（p，d，q）估计残差序列，利用微调，以+做预测，能得到较高的预测精度。趋势时间序列模型不涉及解释变量，可直接进行时间序列的外推式短期预测。∧)(tf∧tε∧tε∧)(tf∧)(tf∧tε随机扰动tε周期的谱分析，是挑出其周期图的最大周期，此最大周期对序列样本方差的贡献最大。国家经济的发展变化必然影响一国外汇储备的变化趋势，在一定时期内，我国外汇储备的随机扰动存在约39个月的波动周期，这与持续约40个月的存货周期基本相同，加深了对剔除趋势项的时间序列短期波动的认识。ty参考文献1叶阿忠、李子奈.我国通货膨胀的混合回归和时间序列模型[J].系统工程理论与实践，2000，20（9）：138-140.2詹姆斯D.汉密尔顿（刘明志译）．时间序列分析[M].北京：中国社会科学出版社，1999：192-195，528-532.63高惠璇等.SAS系统SAS/ETS软件使用手册[M].北京：中国统计出版社，1998.4GeorgeE.P.Box、Gwilym.M.Jenkins、GregoryC.Reinsel(顾岚主译).时间序列分析-预测与控制[M].北京：中国统计出版社，1997：35-50.5范金城、梅长林.数据分析[M].北京：科学出版社，2002：280-292.TheTimeSeriesModelwithDeterministicTrendandItsApplicationAbstract:Accordingtothechangecharacterofthenonstationarytimeserieswit