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第十讲枚举法（二）【知识梳理】分类列举要选择一定的标准，按照规律一一例举。【典例精讲1】1.甲、乙、丙三个工厂共订600份报纸，每个工厂至少订了199份，至多201份，问：一共有多少种不同的订法？思路分析：分3个厂都订200分，和三个工厂分别订199、200、201份报纸进行讨论。解答：三个工厂都订200份，有1种情况；三个工厂分别订199、200、201份报纸，当甲厂订199份，那么可能乙厂订200份，丙厂订201份，或乙厂订201份，丙厂订200份两种情况；同理乙厂订199份，丙厂订199份也各有2种情况；共有：2×3=6（种），所以三个工厂共有1+6=7（种）不同订法．小结：解决关键是讨论三个工厂分别订199、200、201份报纸的情况进行讨论，先假定一个厂订199份，找出另两个厂的不同订法。【举一反三】1.明明和琳琳共有玩具不超过20个，试问他们各自有玩具的个数有多少种不同情况？2.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本，小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书？请写出全部可能的情况．【典例精讲2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。思路分析：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。解答：出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明获胜的可能性大。小结：解决此类问题的关键是选择好标准，按照标准一一列出。【举一反三】3.数一数，右图中有多少个三角形。4.是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？答案及解析：1.【解析】此题可分以下几个步骤讨论：①确定共有20个玩具，每人有玩具情况有21种；②确定共有19个，每人有玩具情况有20种，③确定共有18个，每人有玩具情况有19种…确定共有玩具1个，每人有玩具情况有2种，确定共有玩具0个，每人有玩具情况有1种；再利用加法原理即可解决问题。【答案】：1+2+3+4+…+21=231（种）答：他们各自有书的本数有231种情况。2.【解析】：根据题意，求小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书的过程相当于对7进行整数分拆，每个数最小是1，最大是7-1-1=5，而且可以相同；三人的课外书的本数一共有15种情况：1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1，据此解答即可。【答案】：根据题意，求小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书的过程相当于对7进行整数分拆，每个数最小是1，最大是7-1-1=5，而且可以相同；三人的课外书的本数一共有15种情况：1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1答：全部可能的情况一共有15种。3.【解析】我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。【答案】：单个的三角形有6个：1，2，3，5，6，8。由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。4.【解析】将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。【答案】：当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以（n2＋n＋2）÷3余2；当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以（n2＋n＋2）÷3余1；当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以（n2＋n＋2）÷3余2。因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。