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抓“不变量”解题【知识、方法梳理】一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。【典例精讲】例1．将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。”分母：（61-43）÷（1－79）＝81分子：81×79＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。①79的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）②约分后所得的79在约分前是：79＝7×99×9＝6381③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。练习1：1、分数97181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？2、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、319的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？4、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54倍还多2。由“分母加1得23”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。分子：（2+1）÷（32－54）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。23＝46＝1218，45＝1215②原分数的分母是：18-1＝17或15+2＝17答：这个分数为1217。练习2：1、将一个分数的分母加上2得79，分母加上3得34。原来的分数是多少？2、将一个分数的分母加上2得34，分母加上2得45。原来的分数是多少？3、将一个分数的分母加上5得37，分母加上4得49。原来的分数是多少？4、将一个分数的分母减去9得58，分母减去6得74。原来的分数是多少？例3：在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求原来的最简分数是多少。解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即57=1014，12=714。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想1014和714的分子和分母再乘以2。所以57＝1014＝2028，12＝714＝1428故原来的最简分数是1728。解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以（57+12）÷2＝1728答：原来的最简分数是1728。练习3：1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于58。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求这个分数。2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于67。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于13，求这个分数。3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于79。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于35，求这个分数。例4：将一个分数的分母加3得79，分母加5得34。原分数是多少？解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即79＝2127，34＝2128。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将2127和2128的分子和分母再同乘以2。则79＝2127＝4254，34＝2128＝4256。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是4251。解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的97，分母加5后是分子的43，因此，原分数的分子是（5－3）÷（43－97）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是4251。练习4：1、一个分数，将它的分母加5得56，加8得45，原来的分数是多少？（用两种方法）2、将一个分数的分母减去3，约分后得67；若将它的分母减去5，则得78。原来的分数是多少？（用两种方法做）3、把一个分数的分母减去2，约分后等于34。如果给原分数的分母加上9，约分后等于57。求原分数。例5：有一个分数，如果分子加1，这个分数等于12；如果分母加1，这个分数就等于13，这个分数是多少？根据“分子加1，这个分数等于12”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于13”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是38。练习5：1、一个分数，如果分子加3，这个分数等于12，如果分母加上1，这个分数等于13，这个分数是多少？2、一个分数，如果分子加5，这个分数等于12，如果分母减3，这个分数等于13，这个分数是多少？3、一个分数，如果分子减1，这个分数等于12；如果分母加11，这个分数等于13，这个分数是多少？答案：练11、412、173、374、16练21、21252、12133、12234、2041练31、9162、25423、3145练41、60672、841013、165222练51、7202、7243、916