连续时间信号与系统的时域分析

连续系统的时域分析研究的主要内容是基于信号时域分解的思想，利用线性时不变系统的特性，得到线性时不变连续系统在任意激励作用条件下的零状态响应等于系统的冲激响应和激励信号的卷积积分。第二章连续时间信号与系统时域分析本章重点和难点重点：1）熟练掌握典型信号的定义与性质，微分方程的建立与求解；2）深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的意义及求解；3）单位冲激响应与单位阶跃响应的意义及求解；4）零输入响应和零状态响应；5）自由响应和强迫响应，瞬态响应和稳态响应难点：掌握卷积积分的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应。第二章连续时间信号与系统的时域分析本章教学内容FFFFFFF常用典型信号连续时间信号的分解连续时间系统的数学模型连续时间系统的时域模拟连续时间系统的响应单位冲激响应卷积一．实指数信号函数表示式为：()tftAef(t)t00Af(t)t00Af(t)t00A图2.1实指数信号的波形2.1常用典型信号二．复指数信号函数表示式为:0()()jtftAe由欧拉公式，可得00()[cos()sin()]tftAetjtf(t)t00A-Af(t)t00A-Af(t)t00A-A图2.2复指数信号实部和虚部的波形根据0、的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：00()ftA1．当时，为直流信号；0()()jtftAe()tfte0002．当而时，为实指数信号；000()jtfte3．当时，称为正弦指数信号，02T的周期信号。0jte不难证明是周期为三．抽样信号()aSt抽样信号()aSt定义为sin()()tftSttf(t)t02323144图2.3抽样信号可以看出，（1）()aSt为偶函数；t()aSt（2）当时，的振幅衰减趋近于0；()0fk，（k为整数）；（3）()aSt信号满足：20()Stdt()Stdt四、单位阶跃函数)t()t()t(0100)(t10t2.1常用典型信号奇异函数——是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数。此函数在t=0处不连续，函数值未定义。1.定义21)0(tSVUs1PPVt)()(a)(b)(t2.可代替电路中的开关，故又称为开关函数3.给函数的表示带来方便)(t01)(0tt0t右移t01)(0tt0t左移ttsin)(sin0ttt0000t0t0tttt起始任一函数)t(）图的不同（）与注意（cb)()(sin00tttt(a)(b)(c))(tP)t()t()t()t(P00100)(tP1面积为10t五、单位脉冲函数1、定义）来表示（可用t)t(P)(tPt)(1t01)(1t100tt1)t()t()t(P1故2.=+)(tSgn0t11六、符号函数Sgn(t)1)(2t11)(tSgn000ttt12)t()t(Sgn故）来表示（可用t)t(Sgn2.)t()t()t(Sgn01011.定义七、单位斜变函数R(t)1.定义)t()t(t)t(R0000)(tR11t）来表示（可用t)t(R.200dd)()t(Rtd)()t(Rttt00ttdt)t(dR)t(八.）（单位冲激函数t处奇异在0t称为冲激强度K100dt)t()t()t(000)(t)(0tt)(tK)(Kttt)1(0t（1）1、定义unitimpulsefunction或)t(Plimt0）（或10)(tPt1000dt)t()t(t)t(t）（）（sinlim()(),kkttSaktSatkt或（），其中为整k0t23231k)tt()tt()t()t(00)(t2.的基本性质(1)筛选性:设f(t)为一连续函数，则有)t(fdt)t(f)tt()(fdt)t()t(f000)(fdt)t()(fdt)t(ft0000）（证明：)(t(2)是偶函数(证明参看p22)tttd)(td)(0001证明：由dttddtt)()()()(或dt)t(d)t()t(lim)t(Plimt00）（反之，)t(d)()t(t的定义式比较，得将这对式子与)(t(3)冲激函数的积分等于阶跃函数)()()(taat14、)()()()()()()()(taatadaatdataadaatdatadtat1011011）（故证明：)2()2(1)2()2(1)('ttdtttdt或'()t冲激偶函数22dttddttdt)()()('九、1、定义0im0im0221)1()1(矩形脉冲的导数t0)('t0从负t0从正t)1(t2、的基本性质)('t奇函数①)(')('.00tttt)()(')(')()(')(.tftfttf00④0dtt)('.③)(')(')(.00tfdttttf②引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：_V1)0(tK_cUFCic10000101001000__)()()()()()()(库仑dttdiqCCUqVUVUcccc例1.有始周期锯齿波的分解ATT2T3)(tft00ttf,)(02.2连续时间信号分解分解——将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。121)()(.........)2()()()()()()()(nnTtAtRTATtATtAtRTAtfTtAtRTAtftf故TT2A)()(21tftf0)(1tf0ATAAT)(TtA)(TtA0ttt)(2tf例2.任意函数表示为阶跃函数的积分(例2.4).....)()]()([.....)()]()([)()()()(tktttkftkfttftftftftf00)0(f)(tf0tt2tk)1(tkt0()tftt考虑时间段的函数将间隔分成宽度为的几等分。)(tfaFF动画演示tttfttttkftkfttkftkfftktftftftftktknkk])([])()([)()()()()()()(10dtftftftftkttttftftfttnktkta00100)()()()()()(lim)(])([)()()(例3.任意函数表示为冲激函数的积分.(例2.3))0(f)(tf0ttk)1(tkt)(tfattkt0)(tfanktttttkttPtkftkttPtkftttPtfttPftftf00)()(......)()(....)()()()()()()()()()()()(limttfdtftftftt00FF动画演示一、线性时不变系统的分析方法第一步：建立数学模型第二步：运用数学工具去处理第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。例一：对图示电路列写电流的微分方程。)t(U)t(i)t(i021和电压、)(te)(0tUR)(1tiCRLM)(2tiLC2.3连续时间系统的数学模型)t(e)t(Ridt)t(diMdt)t(diLd)(iCt12111)(te)(0tUR)(1tiCRLM)(2tiLC解：由两类约束关系，分别列两回路方程得：回路1的KVL方程：电阻R的伏安关系：整理后得：012122)t(Ridt)t(diMdt)t(diLd)(ict)t(RitU20）（)t(iCdt)t(diCRdt)t(id)CLR(dt)t(idRLdt)t(idML1212122313414221222）（2233441dt)t(edCdt)t(edRdt)t(edL回路2的KVL方程：330202022303404223322222223234242212221222dt)t(edRMUCdtdUCRdtUd)CLR(dtUdRLdtUdMLdt)t(edM)t(iCdt)t(diCRdt)t(id)CLR(dt)t(idRLdt)t(idML）（）（例2.对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。解：由图列方程)..().........t(iR)t(rdt)t(drC22KCL:)..().........t(e)t(rdt)t(diL1KVL:)(ti)(te2CLR)(tr)t(e)t(rdt)t(drRLdt)t(rdLC222将（2）式两边微分，得).(..........dt)t(didt)t(drRdt)t(rdC31222将（3）代入（1）得*由以上例题可以得出如下结论：1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。ebdtdeb...dtedbdtedbradtdra....dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：n阶常系数微分方程三、n阶常系数微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）时域分析法（经典法）变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解2.4连续时间系统的时域模拟系统模型。框图组合建立之一：即利用基本的方②解决上述矛盾的方法得要领。十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方统分析方法方程或差分方程）的系①建立数学模型（微分为什么要模拟？。或仿真的方法称为系统模拟图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本一、何谓系统的模拟,)(到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分、模拟图用基本单元法二、线性系统的模拟方1)()(2)(21)(1sXxsXxtt12()()()sYXsXs加法器:)()(sYyt1()2()()ttytxx标量乘法器:)()(sXxta)()(sYyt)()()()(saXsYtaxty乘法器